文档介绍：第四节
利用微元法解决:
定积分在几何上的应用
定积分在物理上的应用
定积分的应用
第三章
第四节(续)
定积分的微元法
一、什么问题可以用定积分解决?
二、如何应用定积分解决问题?
第三章
引例
曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线
所围成,
求其面积 A .
一、什么问题可以用定积分解决?
解决步骤:
1) 分割.
在区间[a , b] 中任意插入 n –1 个分点
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变.
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底,
为高的小矩形,
并以此小
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
3) 求和.
4) 取极限.
令
则曲边梯形面积
定积分定义
1) 所求量是区间[a , b]上的非均匀连续分布的量
2) 对区间[a , b] 具有可加性,
即分布在[a , b]
上的总量等于分布在各个子区间上的局部量之和。
按定积分定义中的步骤来解决实际问题过于繁琐,
实际问题中常作简化。
二、如何应用定积分解决问题?
第一步利用“化整为零, 以常代变”求出局部量
微分表达式
第二步利用“积零为整, 无限累加”求出整体量的
积分表达式
这种分析方法称为微元法,称 d Q 为微元。
的近似值
精确值
第二节
设[x, x+dx] 是分割区间[a, b] 所得任一子区间,并取
子区间的左端点 x,
二、已知平行截面面积函数的立体体积
第四节(续)
一、平面图形的面积
三、平面曲线的弧长
定积分在几何学上的应用
第六章
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
右下图所示图形面积为
例1. 计算两条抛物线
在第一象限所围
所围图形的面积.
解: 由
得交点