文档介绍：,数与形是事物的两个方面,正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科,才能使人们能够从不同侧面认识事物,把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略,就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,:“数与形本是两依倚,焉能分作两边飞. 数缺形时少直观,形少数时难入微.”,“切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离.”高考对数形结合思想的考查,一方面是通过解析几何或者平面向量考查对一些几何问题如何用代数方法来处理,另一方面,有一些代数问题则依靠几何图形的构造和分析帮助解决,下面仅介绍 2004 年高考试题中用图形帮助解题的一些例子。在使用的过程中,由“形”到“数”的转化,往往比较明显,而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识,因此,数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。考试中心对考试大纲的说明中强调:“在高考中,充分利用选择题和填空题的题型特点,为考查数形结合的思想提供了方便,能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识,而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法,解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主.”, 用图形分析帮助解决问题的关键是讨论图象交点的个数.【例 1】(2005 年,上海卷)设定义域为 R 的函数1,01||,1|lg|)(xxxxf ,则关于 x 的方程 0)()(2 cxbfxf 有 7 个不同实数解的充要条件是( )(A) 0b 且 0c ( B) 0b 且 0c(C) 0b 且 0c (D) 0b 且 0c【分析及解】画出函数 xf 的图象(图 3-1),该图像关于 1x 对称,且 0xf ,令 txf ,若 0)()(2 cxbfxf 有 7 个不同实数解,则方程 02 cbtt 有 2 个不同实数解,且为一正根,, 0b 且 0c ,故选(C).图3-1【例 2】(2004 湖北卷)两个圆 0222: 221 yxyxC与 0124: 222 yxyxC 的公切线有且仅有( )A. 1 条条 C. 3 条 D. 4 条【分析及解】画出圆 1C 和 2C (图 3-2),可知,两圆相交,-2【例 3】(1991 全国卷) 圆 0342 22 yyxx 到直线 01 yx 的距离等于 2 的点共有( ).(A)1 个 (B)2 个 (C) 3 个 (D)4 个【分析及解】本题涉及到圆与直线的位置关系,为求点的个数,就要解方程组,有一定的运算量,但是,题目只要求点的个数,而不要求点的坐标,所以可以不解出方程,因此, 22 2: 1 2 2 2C x y ,圆心 1, 2C 直线 01 yx 的距离 1 2 122d ,所以过圆心 1, 2C 且与直线 01 yx 平行的直线与圆的交点 ,A 2 2 ,设半径 CD 垂直于已知直线 01 yx ,则 D 到直线 01 yx 的距离也是2 ,于是点 D : ,A B, D .故选(C).图3-, 用图形分析帮助解决问题的关键是讨论参数的几何意义的范围.【例 1】 (2007 全国Ⅱ卷,理,文)函数 siny x 的一个单调增区间是( )A. , , C. , ,【分析及解】只要画出 siny x 的图象(图 3-4),-4【例 2】(1989 全国卷)设 )(xf 是定义在区间 ),( 上以2 为周期的函数,对于 k Z ,用 kI 表示区间 ]12,12( kk ,已知当 0x I 时, 2)( xxf .(Ⅰ)求 )(xf 在 kI 上的解析表达式;(Ⅱ)对自然数 k ,求集合 aMk 使方程 axxf )( 在 kI 上有两个不相等的实根}.【分析及解】(Ⅰ)由题意, 22 , kf x x k x I ,(Ⅱ)代数解法需解方程 22 .x k ax 即方程 2 24 1 4 0g x x k x k 在区间 ]12,12( kk 内有两个不相等的实根,其充要条件是 2 24 1 16 0,4 12 1 2 1,22 1 0,2 1