文档介绍：自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记
前言
概率论与数理统计是经管类各专业的基础课,概率论研究随机现象的统计规律性,它是本课程的理论基础,数理统计则从应用角度研究如何处理随机数据,建立有效的统计方法,进行统计推断。
概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章,重点第一、二章,数理统计包括样本与统计量,参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。
预备知识
(一)加法原则
引例一,从北京到上海的方法有两类:第一类坐火车,若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3,则坐火车的方法有3种;第二类坐飞机,若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机,分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。
【答疑编号:10000101针对该题提问】
解:从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。
一般地有下面的加法原则:
办一件事,有m类办法,其中:
第一类办法中有n1种方法;
第二类办法中有n2种方法;
……
第m类办法中有nm种方法;
则办这件事共有种方法。
(二)乘法原则
引例二,从北京经天津到上海,需分两步到达。
第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班,记作汽1、汽2、汽3
第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班,记作飞1、飞2
问从北京经天津到上海的交通方法有多少种?
【答疑编号:10000102针对该题提问】
解:从北京经天津到上海的交通方法共有:
①汽1飞1,②汽1飞2,③汽2飞1,④汽2飞2,⑤汽3飞1,⑥汽3飞2。共6种,它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。
一般地有下面的乘法原则:
办一件事,需分m个步骤进行,其中:
第一步骤的方法有n1种;
第二步骤的方法有n2种;
……
第m步骤的方法有nm种;
则办这件事共有种方法。
(三)排列(数):从n个不同的元素中,任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数,记作
或。
排列数的计算公式为:
例如:
(四)组合(数):从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数,记作或。
组合数的计算公式为
例如:=45
组合数有性质
(1),(2) ,(3)
例如:
例一,袋中有8个球,从中任取3个球,求取法有多少种?
【答疑编号:10000103针对该题提问】
解:任取出三个球与所取3个球顺序无关,故方法数为组合数
(种)
例二,袋中五件不同正品,三件不同次品(√√√√√×××)从中任取3件,求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少种?
【答疑编号:10000104针对该题提问】
解:第一步在5件正品中取2件,取法有
(种)
第二步在3件次品中取1件,取法有
(种)
由乘法原则,取法共有10×3=30(种)
随机事件与随机事件的概率
§ 随机事件
引例一,掷两次硬币,其可能结果有:
{上上;上下;下上;下下}
则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现,也可能不出现的。
引例二,掷一次骰子,其可能结果的点数有:
{1,2,3,4,5,6}
则出现偶数点的事件A,点数≤4的事件B都是可能出现,也可能不出现的事件。
从引例一与引例二可见,有些事件在一次试验中,有可能出现,也可能不出现,即它没有确定性结果,这样的事件,我们叫随机事件。
(一)随机事件:在一次试验中,有可能出现,也可能不出现的事件,叫随机事件,习惯用A、B、C表示随机事件。
由于本课程只讨论随机事件,因此今后我们将随机事件简称事件。
虽然我们不研究在一次试验中,一定会出现的事件或者一定不出现的事件,但是有时在演示过程中要利用它,所以我们也介绍这两种事件。
必然事件:在一次试验中,一定出现的事件,叫必然事件,习惯用Ω表示必然事件。
例如,掷一次骰子,点数≤6的事件一定出现,它是必然事件。
不可能事件:在一次试验中,一定不出现的事件叫不可能事件,而习惯用φ表示不可能事件。
例如,掷一次骰子,点数>6的事件一定不出现,它是不可能事件。
(二)基本(随机)事件
随机试验的每一个可能出现的结果,叫基本随机事件,简称基本事件,也叫样本点,习惯用ω表示基本事件。
例如,掷一次骰子,点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件,或叫样本点。
全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间,记作Ω,当然