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上海市普陀区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含解析).pdf

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)????10?????、b和c,下列条件中,不能判定a∥b的是()????????????????2bB.|a|?2|b|?2b?c,a?b???c,b??ax2?bx?c(a?0)的图像如图所示,下列结论中正确的是().?0,b?0,c??0,b?0,c??0,b?0,c??0,b?0,c?,AD、BC相交于点O,点E、F分别在BC、AD上,且AB∥CD∥EF,如果CE?6,EO?4,BE?9,那么下列结论中正确的是()EF2AF3AO2CD3A.=B.?C.?D.?CD3FD2OD3AB2:..,下列条件中,不一定能推得?AOB与△COD相似的是().OAOBOAABA.?DAC??DBCB.?BAC??ACDC.?D.?ODOCODCD二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)x2x??,那么?.(3,n)在二次函数y?2x2?5x?3的图像上,?x2?bx?2的对称轴是直线x?1,??2(x?2)2?m的图像经过原点,?2,y?、B?5,y?在抛物线y?(x?1)2?n上,那么yy(“?”、“?”或“?”)1212????,且长度为4,那么a?,(用e表示)?????????????????ABC中,AD是中线,G是重心,向量BA?a,向进BC?b,那么向量DG?(用向量a、b表示),?ABC是等边三角形,在?ABC中,点D在AB边上,以CD为边作等边?CDE,DE与BC交于点F,如AD1果?,AC?6,那么BF?.,DE是?ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则S:S?.△,正方形DEFG的边EF在?ABC的边BC上,顶点D、G分别在边AB、AC上,如果BC?12,?ABC的面积是36,那么DG的长为.:..,当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时,称这条线段是梯形的“比例中线”.在梯形ABCD中,AD∥BC,AD?4,BC?9,点E、F分别在边AB、CD上,如果EF是梯形ABCDDF的“比例中线”,,在矩形ABCD中,已知AB?12,如果将矩形沿直线l翻折后,点B落在边CD的中点E处,直线l分别与边AB、BC交于点M、N,如果BN?,、解答题(本大题共7题,满分78分)??????1?1?,已知两个不平行的向量a、,再求作:(5a?2b)??a?2b?.2?2?(不要求写作法,但要保留作图痕迹,并指出所作图中表示结论的向量.)?ax2?bx?c(其中a、b、c为常数,且a?0)的自变量x的值与它对应的函数值y如下表所示:x…?1013…y0mn0…(1)该二次函数图像的对称轴是直线__________.(2)如果n??2,?ax2?4x与x轴交于点A(4,0),其顶点记作点P.(1)求此抛物线的顶点P的坐标.(2)将抛物线y?ax2?4x向左平移m(m?0)个单位,使其顶点落在直线y?x上,,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,过点E作AD的平行线FG,、DC于点AFDGF、G,且?.FBGC:..(1)求证:EG∥BC;(2)如果EF?2,AD?3,,点D、E分别在△ABC的边AC、AB上,延长DE、CB交于点F,且AE?AB=AD?AC.(1)求证:∠FEB=∠C;FBCD(2)连接AF,若?,求证:EF?AB=AC?(如图),已知抛物线y?x2?bx?c过点A、B、C,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,?3),联结AC,抛物线的顶点为点D.(1)求抛物线的表达式;(2)求?ACD的面积;(3)如果点P是抛物线上的一点,当?PCA?15?时,,在梯形ABCD中,AD∥BC,?A?90?,AD?2,AB?4,BC?5,点N在线段CB的延长线上,联结DN,作?MDN??BDC,DM与BC交于点M.:..(1)求DC的长;(2)设BN?x,BM?y,求y关于x的函数关系式;(3)如果?DMN是等腰三角形,求BN的长.:..【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可.【详解】根据二次函数的定义,:?2t2?2t?1是二次函数,故本选项符合题意;?ax2?bx?c(a?0)是二次函数,故本选项不符合题意;?3x?1是一次函数,故本选项不符合题意;?x2?右边是分式,不是整式,y不是x的二次函数,故本选项不符合题意;x故选:A.【点睛】本题考查了二次函数的定义,能熟记二次函数的定义是解此题的关键,注意:形如y?ax2?bx?c(,a?0)的函数,【分析】利用黄金分割的比值关系进行运算即可.【详解】解:由黄金分割可得:APBP?ABAPAP10?AP∴?10AP整理得:AP2?10AP?100?0解得:AP?55?5,AP??55?5(舍去)12故答案为:C【点睛】本题主要考查了黄金分割的比值关系,【分析】根据平面向量的性质逐一判断即可.??【详解】解:∵a??2b,??∴a∥b,选项A,不符合题意;??∵a?2b,不能确定两个向量的方向,??∴无法判断a∥b,选项B符合题意;??????∵a?2b?c,a?b??c,??∴a∥b,选项C,不符合题意;????∵a?c,b?3c:..??∴a∥b,选项D,不符合题意;故选:B.【点睛】本题考查了平面向量的性质,【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定a?0,再根据对称轴在y轴右,可确定a与b异号,然后再根据二次函数与y轴的交点可以确定c?0.?【详解】解:抛物线开口向上,?a?0,?y对称轴在轴左侧,?a与b同号,?b>0,?y抛物线与轴交于负半轴,?c?0,故选:A.【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是掌握二次函数y?ax2?bx?c(a?0),①?0时,抛物线向上开口;当a?0时,抛物线向下开口.②(即ab?0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab?0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③.(0,c).【分析】利用平行线分线段成比例与相似三角形的判定与性质逐一分析各选项即可得到答案.【详解】解:∵CD∥EF,∴?OEF∽?OCD,而CE?6,EO?4,EFOE42∴???,故A不符合题意;CDOC4?65∵AB∥CD∥EF,而CE?6,BE?9,AFBE93∴???,故B符合题意;FDEC62∵CE?6,EO?4,BE?9,∴OB?5,OC?10,∵AB∥CD,∴△AOB∽△DOC,AOBOAB51∴????,故C不符合题意;D102CD∴?2,故D不符合题意;AB:..故选B【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例,相似三角形的判定与性质,【分析】由相似三角形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案.【详解】解:如图,∵?DAC??DBC,?AOD??COB,∴?DAO∽?CBO,AODO∴?,BOCO∵?AOB??COD,∴△AOB∽△DOC;故A不符合题意;∵?BAC??ACD,?AOB??COD,∴?ABO∽?CDO,故B不符合题意;OAOB∵?,?AOB??COD,ODOC∴△AOB∽△DOC,故C不符合题意;OAAB∵?,?AOB??COD,不符合两边对应成比例且夹角相等,ODCD∴?AOB与△COD不一定相似,故D符合题意;故选D【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质,.##【分析】根据比例的性质,设x?2k,y?3k,【详解】解:∵?,y3x?y2k?3k5∴设x?2k,y?3k,则???,x2k25故答案为:2【点睛】本题考查了比例的性质,【分析】将点A的坐标代入二次函数中即可求得n的值.【详解】解:将点A?3,n?代入二次函数y?2x2?5x?3中得,:..n?2?32?5?3?3?0故答案为:0.【点睛】本题考查了求函数的值,.?2b【分析】根据对称轴公式列得??1,【详解】解:∵抛物线y?x2?bx?2的对称轴是直线x?1,b∴??1,得b??2,2故答案为:?【点睛】此题考查了抛物线的对称轴公式x??,【分析】把原点坐标代入二次函数解析式,计算即可.【详解】解:把原点?0,0?代入解析式y??2(x?2)2?m,得?2?(0?2)2?m?0,?8?m?0,∴m?8,故答案为:8.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,.?【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y?(x?1)2?n的开口向上,对称轴为直线x=?1,则在对称轴右侧,y随x的增大而增大.【详解】∵y?(x?1)2?n∴a?1?0,∴抛物线开口向上,∵抛物线y?(x?1)2?n对称轴为直线x=?1,∵?1?2?5,∴y?:?.【点睛】本题考查了二次函数y?a?x?h?2?k?a?0?的性质,求得对称轴x?h是解题的关键.?12.-4e【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答.:..??【详解】解:∵a的长度为4,向量e是单位向量,??∴a=4e,??∵a与单位向量e的方向相反,??∴a??4e?故答案为:-4e.【点睛】本题考查的是平面向量的知识,向量包括长度及方向,而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量,解决本题的关键是注意单位向量只规定大小没规定方向.???b36???????????????????11【分析】先求解BD?b,DA?BA?BD?a?b,?????【详解】解:如图,∵AD是中线,BC?b,?????1∴BD?b,2?????∵BA?a,??????????????1∴DA?BA?BD?a?b,21根据三角形的重心性质,GD?AD,3????????????11?1?11∴DG?DA??a?b??a?b;33?2?36??11故答案为:a?【点睛】此题考查了平面向量的三角形法则和重心性质(三角形的重心是各中线的交点,重心性质是说三角形顶点2到重心的距离等于该顶点对边上中点的线段长的),.##133【分析】先由等边三角形的性质与已知线段的比例关系求得AD、BD的长,再证明△CAD∽△DBF,则AD:AC=BF:BD,可求得BF.【详解】由等边?ABC知,AB?AC?6AD1∵?DB21∴AD=AB=2,BD?AB?AD??ABC得,DCAD=DDBF=60°,:..由等边?CDE知,?CDF?60?,∴∠ADC=180°-∠CDF-∠BDF=120°-∠BDF由?DBF?60?得,∠BFD=180°-∠DBF-∠BDF=120°-∠BDF∴∠ADC?∠BFD,又?CAD??DBF∴△CAD∽△DBF∴AD:AC=BF:BDAD′BD2′44∴BF===AC634故答案为:.3【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质,解题的关键是求证△CAD∽△:15DM1【分析】利用DE是?ABC的中位线,M是DE的中点,可得到?,再证得△DMN∽△BCN,利用相似三角BC4形的性质即可求解.【详解】∵DE是?ABC的中位线,DE1∴?,DE∥BCBC2又∵M是DE的中点,DM1∴?,DE2DM1∴?,BC4∵DE∥BC,∴△DMN∽△BCN,SDM21???∴DMN????,S?BC?16?BCN∴S:S?1:15.△DMN四边形DBCM故答案为:1:15【点睛】本题考查了三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质,【分析】作AH?BC于H,交DG于P,由DG∥BC得△ADG∽△ABC,利用相似三角形对应边上高的比等于相似比,列方程求解即可.【详解】解:作AH?BC于H,交DG于P,如图所示::..1∵?ABC的面积?BC?AH?36,BC?12,2∴AH?6,设正方形DEFG的边长为x.∴DG∥BC,∵AH?BC,∴AP?∥BC得△ADG∽△ABC,DGAP∴?.BCAH∵PH?BC,正方形DEFG,∴PH?ED,AP?AH?PH,DGAH?PH即?,BCAH由BC?12,AH?6,DE?DG?PH?x,x6?x∴?,126解得x?4,即DG?:4【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、,.##【分析】先根据EF是AD、BC的比例中项可求得EF,再过点D作AB的平行线构造平行四边形,可求得MF、NCDF的长度,然后再利用△DMF∽△【详解】如图,过点D作AB的平行线,交EF、BC于点M、N.:..∵AB∥EF∥BC,DN∥AB∴四边形AEMD、四边形EBNM、四边形ABND均为平行四边形.∴EM=BN=AD=4,∵EF是梯形ABCD的比例中项,∴EF=AD×BC=4′9=6.∴MF=EF-EM=2,NC=BC-BN=9-4=5由EF∥BC得,∠DMF=∠DNC,∠DFM=∠DCN∴△DMF∽△DNCDFMF2∴==DCNC52故答案为:.5【点睛】本题考查了比例中项、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质,【分析】连接NE,构造直角三角形,依据折叠的性质以及勾股定理,的长以及BC的长,再根据?BMN∽?CBE,得到比例式求出BM,进而得出AM的长.【详解】解:如图,连接NE,?ABCD四边形为矩形,?CD?AB?12,?ABC??C?90?,?E为CD的中点,1?CE?CD?6,2?llBCMN将矩形沿直线翻折后,点B落在边CD的中点E处,直线分别与边AB、交于点、,?MN?BE,BN?EN?,:..?EN2?CE2??62?,?AD???9,??MBE??BMN?90?,?MBE??CBE?90?,??BMN??CBE,又??NBM??C,??BMN∽?CBE,??,即?,BCCE9639?BM?,4399?AM?AB?BM?12??;449故答案为:.4【点睛】本题主要考查了折叠问题、勾股定理以及相似三角形的判定与性质,解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形,【分析】根据平面向量的加减运算法则解答;由平面向量的几何意义作图.????1?1?【详解】解:(5a?2b)??a?2b?2?2?????51?a?b?a?2b22???2a?::..????∴如图,CA为所求向量.【点睛】本题主要考查了平面向量,注意:.(1)x?113?3?(2)y?x2?x?,0,???22?2?【分析】(1)根据二次函数的对称性求解即可;(2)先用待定系数法求出函数解析式,再求与y轴的交点坐标.【详解】(1)∵x=?1和x?3时,y?0,?1?3∴二次函数图像的对称轴是直线x??:x?1;(2)设二次函数解析式为y?a?x?1??x?3?,把x?1,y?n??2代入,得?2?a??1?1???1?3?,1∴a?,2113∴y??x?1??x?3??x2?x?,222当x?0时,3y??,2?3?∴与y轴的交点坐标为?0,??.?2?【点睛】本题考查了二次函数的性质,待定系数法求函数解析式,.(1)此抛物线的顶点P的坐标为?2,?4?;(2)平移后新抛物线的表达式为y??x?4?2?4.:..【分析】(1)利用待定系数法求得抛物线的表达式,再配成顶点式,即可求解;(2)利用二次函数图象平移的性质即可求解.【详解】(1)解:将点A(4,0)代入y?ax2?4x得0?16a?16,解得a?1,∴抛物线的表达式为y?x2?4x??x?2?2?4,∴此抛物线的顶点P的坐标为?2,?4?;(2)解:由题意得平移后的抛物线的表达式为y??x?2?m?2?4,平移后的抛物线的顶点坐标为?2?m,?4?,∵顶点落在直线y?x上,∴2?m??4,解得m?6,∴平移后新抛物线的表达式为y??x?4?2?4.【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式,二次函数图象平移的性质,.(1)证明见解析(2)6AEDGAEAF【分析】(1)先证明?可得?,再证明△AFE∽△ABC,可得?AFE??ABC,从而可得结论;ECGCECFBAF1(2)证明?BFE∽?BAD,可得?,再证明?AFE∽ABC,【详解】(1)证明:∵AD∥FG,AEDG∴?,ECGCAFDG∵?,FBGCAEAF∴?,ECFBAEAF∴?,ACAB∵?FAE=?BAC,∵△AFE∽△ABC,∴?AFE??ABC,∴EG∥BC.:..(2)∵FG∥AD,∴?BFE∽?BAD,EFBF∴?,ADBA∵EF?2,AD?3,BF2∴?,BA3AF1∴?,AB3∵FG∥BC,∴?AFE∽ABC,EFAF1∴??,BCAB3∴BC?3EF?6.【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例,相似三角形的判定与性质,.(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)证明△AED∽△ACB即可解决问题;EFFB(2)证明△EFB∽△FAB,可得?,由AF=AC,【详解】(1)∵AE?AB=AD?∴?,ACAB又∵∠A=∠A,∴△AED∽△ACB,∴∠AED=∠C,又∵∠AED=∠FEB,∴∠FEB=∠C.(2)∵∠FEB=∠C,∠EFB=∠CFD,∴△EFB∽△CFD,∴∠FBE=∠FDC,FBCD∵?,ADFDFBAB∴?,CDFD∴△FBA∽△CDF,∴∠FEB=∠C∴AF=AC,:..∵∠FEB=∠C,∴∠FEB=∠AFB,又∵∠FBE=∠ABF,∴△EFB∽△FAB,EFFB∴?,AFAB∵AF=AC,∴EF?AB=AC?FB.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定等知识,.(1)y=x2?2x?3(2)3(3)3?23或2?3.【分析】(1)把点A,C坐标代入y?x2?bx?c,求出b,c的值即可;(2)求出抛物线顶点坐标,根据三角形面积公式进行计算即可;P?t,t2?2t?3?(3)设,分两种情况讨论:当P点在AC上方时和AC下方时,讨论求解即可.【详解】(1)把点A(3,0),点C(0,?3)代入y?x2?bx?c得,?9?3b?c?0?,?c??3?b??2解得,?,?c??3∴抛物线的表达式为y=x2?2x?3;(2)y?x2?2x?3??x?1?2?4,∴D?1,?4?,过点D作DE?y于点E,:..∴E?0,?4?∴DE?1,OE?4,又A(3,0),点C(0,?3)∴AO?CO?3,∴S?S?S?S?ACD梯形AOED?AOC?CED111??4??1?3???3?3??1?1222?3P?t,t2?2t?3?(3)设,当P点在AC上方时,过点P作PE?y轴交于E,∵?PCA?15?,?OCA?45?,∴?OCP?30?,PEt3∴tan30????,ECt2?2t?3?33解得t?3?23,t?0(舍去),∴P点横坐标为3?23;:..当P点在AC下方时,过点P作PK?y轴交于K,∵?PCA?15?,?OCA?45?,∴?KCP?60?,3?t22t3?CK???∴tan60????3,PKt解得t?2?3,t?0(舍去),∴P点横坐标为2?3;综上所述:P点的横坐标为3?23或2?3.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质,熟练掌握二次函数的图象及性质,.(1)CD?5;20(2)y?;x?4(3)BN的长为0或1或25?4.【分析】(1)过点D作DG?BC于G,由已知易得四边形ABGD是矩形,则BG?AD?2,DG?AB?4,在Rt△CDG中,由勾股定理DC的长;(2)由(1)中CD?5?BC,可得?BDC??DBC,结合?MDN??BDC即可得到?DBC??MDN,可得?MDN∽?MBD,从而可得DM2?BM?MN,在Rt△DMG中,由勾股定理得DM2?16??y?2?2,进一步计算即可求解;(3)分①当DN?DM时,②当DM?MN时,③当MN?DN时三种情况结合已知条件和前面所得结论进行分析计算即可.【详解】(1)解:如图,过点D作DG?BC于G,:..∴?BGD?90?,∵?A?90?,梯形ABCD中,AD∥BC,∴?ABC?90?,∴四边形ABGD是矩形,BG?AD?2,DG?AB?4,∵BC?5,∴CG?BC?BG?3,在Rt△CDG中,根据勾股定理得,CD?32?42?5;(2)解:由(1)知,CD?5?BC,∴?BDC??DBC,∵?MDN??BDC,∴?DBC??MDN,∵?BMD??DMN,∴?MDN∽?MBD,DMMN∴?,BMDM∴DM2?BM?MN,在Rt△DMG中,根据勾股定理得,DM2?DG2?MG2?16??y?2?2,∵MN?BM?BN?y?x,∴16??y?2?2?y?y?x?,20∴y?;x?4(3)解:∵?DMN是等腰三角形,∴①当DN?DM时,如图,NG?MG,:..∵NG?2?x,MG?y?2,∴2?x?y?2,∴y?4?x,20由(2)知,y?,x?4∴?4?x?2?20,解得x?25?4(负值舍),即:BN?25?4;②当DM?MN时,∴?MDN??DNM,∵?CBD??MDN,∴?CBD??DNM,∴点N与点B重合,∴BN?0;③当MN?DN时,∴?MDN??DMN,∵?DBC??MDN,∴?DBC??DMN,∴DM?BD,∴BM?2BG?4,20由(2)知,y?,x?4∴4?x?4??20,解得x?1,即:BN?1;综上:BN的长为0或1或25?4.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,函数的应用,勾股定理,讨论“?DMN是等腰三角形”时,需分当DN?DM、DM?MN、MN?DN三种情况讨论,不要忽略了其中任何一种情况.