文档介绍：第13讲二次函数的图象和性质
考点1 二次函数的概念
一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0),a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
考点2 二次函数的图象和性质
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
a
a>0
a<0
图象
开口方向
抛物线开口向②,并向上无限延伸X
抛物线开口向③,并向下无限延伸
对称轴
直线x=-
直线x=-x kb 1
顶点坐标
(-,)
(-,)
最值
抛物线有最低点,当x=-时,y有最小值,y最小值=
抛物线有最高点,当x=-时,y有最大值,y最大值=
增减性
在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而④;在对称轴的右侧,即当x>- a时,y随x的增大而⑤,简记左减右增
在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而⑥;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而⑦,简记左增右减
【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.
考点3 二次函数的图象与字母系数的关系
字母或代数式
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向⑧
|a|越大开口越⑩
a<0
开口向⑨
b
b=0
对称轴为⑪轴
ab>0(b与a同号)
对称轴在y轴⑫侧
ab<0(b与a异号)
对称轴在y轴⑬侧
c
c=0
经过⑭
c>0
与y轴⑮半轴相交
c<0
与y轴⑯半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有交点(顶点)
b2-4ac>0
与x轴有不同交点
b2-4ac<0
与x轴交点
特殊关系
当x=1时,y=
当x=-1时,y=
若a+b+c>0,即当x=1时,y 0
若a+b+c<0,即当x=1时,y 0
考点4 确定二次函数的解析式
方法
适用条件及求法
一般式
若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值,则可设所求二次函数解析式为.
顶点式
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值),可设所求二次函数为.
交点式
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),可设所求的二次函数为.
【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号;(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.
考点5 二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象与轴的交点的坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数与不等式
抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c 0的解集;在x轴下方的部分点的纵坐标均为负,所对应的x的值就是不等式ax2+bx+c 0的解集.
=(x-h)2+k的图象平移时,主要看顶点坐标的变化,一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行.
,在对称轴的同侧具有相同的性质,在顶点处有最大值或最小值,如果自变量的取值中不包含顶点,那么在取最大值或最小值时,要依据其增减性而定.
=0解关于x的方程;求函数图象与y轴的交点的方法是令x=0得y的值,最后把所得的数值写成坐标的形式.
命题点1 二次函数的图象和性质
例1 (2013·内江)若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点坐标为(0,-3),则下列说法不正确的是( )
=1
=1时,y的最大值为-4
(-1,0),(3,0)
方法归纳:解答此类题首先将点坐标代入函数解析式,、图象、性质的相互关系解题.
1.(2014·毕节)抛物线y=2x2,y=-2x2,y=x2的共同性质是( )
2.(2013·泰安)对于抛物线y=-(x+1)2+3,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为(-1,3);④x>1时,( )
3.(2014·白银)二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点( )
A.(-1,-1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,1)
4.(2014·枣庄)已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表:
x
-1
0
1[来