文档介绍：该【韦达定理及其应用竞赛题 】是由【雨林书屋】上传分享，文档一共【4】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【韦达定理及其应用竞赛题 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根,那么,。这两个式子反应了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a,b,c的关系,称之为韦达定理。其抗命题也建立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学比赛中有着宽泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。【重点解说】,能够求出一元二次方程两根的对称式的值。★★例1假定a,b为实数,且,,求的值。思路注意a,b为方程的二实根;〔隐含〕。解〔1〕当a=b时,;〔2〕当时,由及根的定义可知,a,b分别是方程的两根,由韦达定理得ab==b般地,设,为方程的二根,的状况。根的对称多项式,,等都能够用方程的系数表达出来。,那么有递推关系。一韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题此中n为自然数。由此关系可解一批比赛题。附带:本题还有一种最根本方法即分别解出a,b值从而求出所求多项式值,但计算量较大。★★★例2假定,且,试求代数式的值。思路此例可用上例中说明局部的递推式来求解,也能够借助于代数变形来达成。解:由于,由根的定义知m,n为方程的二不等实根,再由韦达定理,得,∴,那么能够利用韦达定理结构以这两个字母为根的一元二次方程。★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。1〕试求以和为根的一元二次方程;2〕假定以和为根的一元二次方程仍为。求全部这样的一元二次方程。解〔1〕由韦达定理知,。,。因此,所求方程为。2〕由条件可得解之可得由②得,分别议论〔p,q〕=(0,0),(1,0),(1,0),(0,1),(2,1),(2,1)或(0,1)。于是,得以下七个方程,,,,,x22x10,x210,此中x210无实数根,韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题舍去。其他六个方程均为所求。〔或逆定理〕及鉴别式,能够证明某些恒等式或不等式。★★★例4a,b,c为实数,且知足条件:,,求证a=b。证明由得,。依据韦达定理的逆定理知,以a,b为根的对于x的实系数一元二次方程为①由a,b为实数知此方程有实根。。韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题∴c20,故c=0,从而。这说明①有两个相等实根,即有a=b。韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题说明由“不等导出相等〞是一种独到的解题技巧。此外在求得c=0后,由恒等式可得,韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题即a=b。此方法较第一种烦杂,且需必定的跳跃性思想。,能够研究二次方程根的符号、区间散布、整数性等。对于方程的实根符号判断有下述定理:韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题⑴方程有二正根,ab<0,ac>0;⑵方程有二负根,ab>0,ac>0;⑶方程有异号二根,ac<0;⑷方程两根均为“0〞,b=c=0,;★★★例5设一元二次方程的根分别知足以下条件,试务实数a的范围。⑴二根均大于1;⑵一根大于1,另一根小于1。思路设方程二根分别为,,那么二根均大于1等价于和同时为正;一根大于1,另一根小韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题于是等价于和异号。解设此方程的二根为,,那么,。⑴方程二根均大于1的条件为解之得7a3⑵方程二根中一个大于1,另一个小于1的条件为4a24(6a)0,(x11)(x21)6a(2a)。a7。说明此例属于二次方程实根的散布问题,注意命题变换的等价性;解题过程中波及二次不等式的解法,请参照后继有关内容。此例假定用二次函数知识求解,那么解题过程极为简易。〔组〕中也有着很多奇妙的应用。★★★例6解方程。解:原方程可变形为。韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题令,。那么。由韦达定理逆定理知,以a,b为根的一元二次方程是。解得,。即a=8或a=9。或经过求解x结果同样,且谨慎。,〔舍去〕。解之得,。此种方法应查验:是或否建立加强训练级★★,且方程有两个不等的正整数根,那么k的值为________________。,,那么_______________。,那么_____________。韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题★★★〔m为整数〕有两个不等的正整数根,求m的值。韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题B级★★★★5.:和为方程及方程的实根,此中n为正奇数,且。求证:,是方程的实根。★★★★,试求k的值。:原方程即,因此,由知k=1,2,3,5,11;由知k=2,3,4,7。因此k=2,3,但k=3时原方程有二相等正整数根,不合题意。故k=2。:由x,y为方程的二根,知,。于。:由,,知,,,由韦达定理,有消去m,得。即。那么且。,。故。,。又,。二式相减得。,。将代入有。韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题从而,同理和是方程的根。,可知1,因此14k312k2,当时,易证得。从而,为方程的二不一样实根。,。于是,,。当时,方程为。解得或取,即能切合题意,故k的值为。韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题韦达定理及其应用比赛题