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二次函数与配方法的深入探究.docx

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二次函数与配方法的深入探究.docx

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文档介绍:该【二次函数与配方法的深入探究 】是由【科技星球】上传分享,文档一共【27】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【二次函数与配方法的深入探究 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。1/33二次函数与配方法的深入探究第一部分二次函数的标准与一般形式 2第二部分求二次函数顶点的配方法 4第三部分配方法求解二次方程组 7第四部分配方法在函数图像分析中的应用 12第五部分配方法求解二次不等式 15第六部分配方法的性质与应用条件 17第七部分配方法的推导与证明 19第八部分配方法与其他求解二次函数的方法 233/:二次函数的标准形式为f(x)=ax^2+bx+c,其中a、b、c为实数,且a≠0。:标准形式的二次函数的导数为f'(x)=2ax+b,零点可以通过求解方程f(x)=0获得。:标准形式的二次函数图像是抛物线,其对称轴为x=-b/2a,顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。:二次函数的一般形式为f(x)=px^2+qx+r,其中p、q、r为实数,且p≠0。:可以通过配方法将一般形式的二次函数变换为标准形式,即f(x+b/2p)=(p/4)x^2+((p*b)/4+q)x+(p*b^2/4)+r。:一般形式的二次函数常用于求解实际问题,例如抛物线的最高点、最小值或面积计算等。二次函数的标准形式和一般形式二次函数是指形为f(x)=ax2+bx+c的函数,其中a、b、c为实数,且a不等于0。二次函数可以表示为两种不同的形式:标准形式和一般形式。:f(x)=a(x-h)2+k其中:*a是二次项系数,控制抛物线的开口方向和宽度。*h是平移量,指示抛物线沿x轴的平移距离。*k是平移量,指示抛物线沿y轴的平移距离。:f(x)=ax2+bx+c3/33其中:*a是二次项系数。*b是一次项系数。*c是常数项。标准形式和一般形式之间的转换可以通过配方法将一般形式转换为标准形式:步骤:。,并简化。-(b/2a)2加到方程两边,得到标准形式。示例:将f(x)=x2+4x-5转换为标准形式:*将x2移项至左边:x2+4x=5*将(4/2)2=4加到两边:(x2+4x)+4=5+4*(x+2)2=9*f(x)=(x+2)2-1标准形式的意义标准形式提供了抛物线的重要信息:*对称轴:x=h*顶点:(h,k)*开口方向:如果a>0,则开口向上;如果a<0,则开口向下一般形式的意义4/33一般形式用于表示二次函数的一般方程,但它不提供有关抛物线特定特征的直接信息。两种形式之间的选择在特定情况下选择使用哪种形式取决于问题的需要:*标准形式:当需要确定抛物线的特征(如对称轴、顶点、开口方向)时。*一般形式:当需要处理二次函数的一般方程时。第二部分求二次函数顶点的配方法关键词关键要点【二次函数求顶点配方法】::f(x)=ax^2+bx+c,其中a≠0。=b^2-4ac。:-D>0有两个不同的实数根,对应一个极小值点。-D<0没有实数根,没有顶点。-D=0有一个重根,对应一个极值点。【判别式的应用】:求二次函数顶点的配方法#配方法原理配方法是求二次函数顶点的一种技巧,其原理在于通过配方将二次函数化为平方的形式,从而确定顶点坐标。设二次函数为:```f(x)=ax2+bx+c5/33```其中a≠0。配方法的关键步骤在于将b/2a的平方项加上并减去二次函数中,得到:```f(x)=a(x2+2·(b/2a)·x+(b/2a)2-(b/2a)2+c)```化简得:```f(x)=a((x+b/2a)2+c-b2/4a)```#顶点坐标从上述配方中可以看出,二次函数顶点的横坐标为:```x=-b/2a```纵坐标为:```y=c-b2/4a```因此,二次函数f(x)=ax2+bx+c的顶点坐标为:```6/33(h,k)=(-b/2a,c-b2/4a)```#判定二次函数开口方向配方法还可以用来判定二次函数的开口方向:*若a>0,二次函数开口向上,顶点为最小值点。*若a<0,二次函数开口向下,顶点为最大值点。#配方法步骤求二次函数顶点的配方法步骤如下:。(b/2a)2加上并减去二次函数中。。-b/2a。-b2/4a。。#例题求二次函数f(x)=x2-4x+3的顶点坐标。解:=-4/2=-(x)=x2-4x+3+4-4=x2-4x+(x)=(x-2)2-:x=:y=3-4=-17/=1>0,二次函数开口向上。因此,二次函数f(x)=x2-4x+3的顶点坐标为(2,-1)。:-将方程组中的一个未知数消去,得到一个一元二次方程。-解决一元二次方程,得到已消去未知数的值。-代入另一个方程,求得另一个未知数的值。:-从方程组中选取一个未知数为“主未知数”。-将主未知数代入另一个方程,得到一个一元二次方程。-求解一元二次方程,得到主未知数的值。-代回另一个方程,求得另一个未知数的值。:-假设一个未知数为“待定系数”。-将待定系数代入方程组,得到一个关于已知系数的方程组。-求解已知系数的方程组,得到待定系数的值。-代回方程组,得到未知数的值。:-将二次项提取公因子。-判断公因子是否能进一步分解。-根据公因子的分解情况,将二次项配成完全平方。:-确定二次项系数的一半。-对二次项进行补全平方操作。-提取完全平方,化简为一元二次方程。:-对二次项进行换元操作,使二次项系数为1。-将一次项化为奇数项,再平方。-提取完全平方,化简为一元二次方程。8/33配方法求解二次方程组配方法是求解二次方程组的一种有效方法,它通过配平方项得到单变量的平方差或平方和形式,从而化解方程组。具体步骤如下:步骤1:将方程组化为标准形式若方程组为:```ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0,gx^2+hxy+iy^2+jx+ky+l=0,}```则将其化为:```(a+g)x^2+(b+h)xy+(c+i)y^2+(d+j)x+(e+k)y+(f+l)=0,(a-g)x^2+(b-h)xy+(c-i)y^2+(d-j)x+(e-k)y+(f-l)=0,}```步骤2:配平方项对于第一个方程,配平方项得到:```(a+g)x^2+(b+h)xy+(c+i)y^2+(d+j)x+(e+k)y+9/33(f+l)=0(=(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f)+(gx^2+hxy+iy^2+jx+ky+l)=0)=(ax^2+(b+h)xy+cy^2+(d+j)x+(e+k)y)+(gx^2+hxy+iy^2+jx+ky+l)=0=(ax^2+(b+h)xy+cy^2+(d+j)x+(e+k)y+(b+h)^2/4-(b+h)^2/4)+...=(ax^2+(b+h)xy+((b+h)/2)^2+cy^2+(d+j)x+(e+k)y+((b+h)/2)^2)+...=(a(x+(b+h)/2a)^2+c(y+(e+k)/2c)^2+((b+h)/2)^2)+...+(gx^2+hxy+iy^2+jx+ky+l)=0```类似地,对于第二个方程,配平方项得到:```(a-g)x^2+(b-h)xy+(c-i)y^2+(d-j)x+(e-k)y+(f-l)=0=(a(x-(b-h)/2a)^2+c(y-(e-k)/2c)^2-((b-h)/2)^2)+...+(gx^2+hxy+iy^2+jx+ky+l)=0```步骤3:化解方程组将配平方项后的两个方程相加,得到:```10/332ax^2+2cy^2+((b+h)/2)^2+((b-h)/2)^2+...+(gx^2+hxy+iy^2+jx+ky+l)=0```整理得:```2(a+g)x^2+2(c+i)y^2+2((b+h)/2)^2+...+(gx^2+hxy+iy^2+jx+ky+l)=0```由于a+g、c+i不为0,因此:```x^2+y^2+((b+h)/2)^2/2(a+g)+...+(gx^2+hxy+iy^2+jx+ky+l)/(2(a+g))=0```将右端化为完全平方得到:```(x+(b+h)/2)^2/2(a+g)+(y+(e+k)/2)^2/2(c+i)+...+(gx^2+hxy+iy^2+jx+ky+l)/(2(a+g))=((b+h)^2+4(c+i)(2(a+g))/(4(a+g)(c+i))```两边同时乘以4(a+g)(c+i),得到:```4(a+g)(c+i)(x+(b+h)/2)^2+4(a+g)(c+i)(y+(e+