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象函数采用赋值法,令,结合题意可得,对A:令,代入计221?1??1??1?y??,可得fx???2xfx?fx?算即可得;对B、C、D:令??,即可得函数??及函数??函数的性质,2222???????1?x?,即可得??2??1?1??1??1?x?、y?0f?f?f?0??f?1?f?0???0【详解】令,则有????????,2?2??2??2??1?f?01?f?0??0f?0???1又??,故,即,?2?:..11?11??1??1?1?1?x?、y??,则有f??ff??4???令????????,22222222?????????1??1??1??1?f?0??ff???1f?0???1ff??0即????,由,可得????,?2??2??2??2??1??1?f?0f??0又??,故??,故A正确;?2??2?1?1??1??1?y??fxf?x?f4x令,则有????????????,2?2??2??2??1??1?fx???2xfx?即??,故函数??是奇函数,22?????1??1?fx?1???2?x?1???2x?2fx???2x?2有??,即??,22?????1?fx?即函数??是减函数,?2??1?x?1f??2?1??2令,有??,?2?故B正确、C错误、:?0???1【点睛】关键点睛:本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题,借助赋值法,得到,再重新赋值,得?1??1?f??0fx?????,再得到???2??2?三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.??????2,0,2,4,B?xx?3?m,若A?B?A,则m的最小值为__________.【答案】5【分析】由A?B?A可得A?B,解出集合B后结合集合的关系计算即可得.【详解】由A?B?A,故A?B,由x?3?m,得?m?3?x?m?3,?4?m?3?m?1故有?,即?,即m?5,?2??m?3m?5??:?的高与球O的直径相等,则圆锥MM?的体积与球O的体积的比值是:..__________,圆锥MM?【答案】①.②.13【分析】设圆锥的底面圆半径r以及球的半径R,用r表示出圆锥的高h和母线l以及球的半径R,然后根据体积公式求出体积比,根据表面积公式求得表面积之比.【详解】设圆锥的底面半径为r,球的半径为R,因为圆锥的轴截面为正三角形,所以圆锥的高h?3r,母线l?2r,3由题可知:h?2R,所以球的半径R?r213V???π?r2??3r?πr3所以圆锥的体积为,133344?3?3球的体积V?πR3?π?r?πr3,??233?2?2??3πr3V32所以1??;V332πr32S?πrl?πr2?3πr2,圆锥的表面积12?3?球的表面积S?4πR2?4π?r?3πr2,??2?2???S3πr21??1所以,S3πr222故答案为:;?a?b?c?1b?2aa?b?1max?b?a,c?b,1?c?,已知或,【答案】##?b?1?n?p【分析】利用换元法可得?,进而根据不等式的性质,?1?m?n?p?【详解】令b?a?m,c?b?n,1?c?p,其中m,n,p?0,?b?1?n?p所以?,a?1?m?n?p?b?2ab?1?n?p?2?1?m?n?p?2m?n?p?1若,则,故,:..M=max?b?a,c?b,1?c??max?m,n,p?令,?2M?2m?1M?n,故4M?2m?n?p?1,则M?,因此?4?Mp??若a?b?1,则1?n?p?1?m?n?p?1,即m?2n?2p?1,M=max?b?a,c?b,1?c??max?m,n,p?,?M?m?12M?2n,故5M?m?2n?2p?1,则M?,则?5?2M2p??当m?2n?2p时,等号成立,1max?b?a,c?b,1?c?综上可知的最小值为,51故答案为:5【点睛】关键点睛:本题的关键是利用换元法,在b?2a和a?b?1前提下进行合理分类讨论,根据题意得到相对应的不等式组,注意题目的条件关键词是“或”.四、解答题:本题共5小题,、证明过程或演算步骤.???????lnx?x2?ax?2在点2,f2处的切线与直线2x?3y?0垂直.(1)求a;f?x?的(2)求单调区间和极值.【答案】(1)a??3?1?130,????ln2(2)单调递增区间为、1,??,单调递减区间为,1,极大值?,极小值0???2??2???4【分析】(1)结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得;(2)借助导数可讨论单调性,即可得极值.【小问1详解】119f??x???2x?af??2???2?2?a??a,,则x22?9??2??a????1a??3由题意可得????,解得;?2??3?【小问2详解】f?x??lnx?x2?3x?2,由a??3,故:..12x2?3x?1?2x?1??x?1?则f??x???2x?3??,x?0,xxx110?x?f￠(x)0?x?1f??x??0x?1f￠(x)0故当时,>,当时,,当时,>,22?1?1??0,??????故fx的单调递增区间为、1,??,fx的单调递减区间为,1,???2??2???111213??????故fx有极大值f?ln??3??2??ln2,?????2?2?2?24f?1??ln1?12?3?1?2?,2,3,4的小球各2个,随机一次取出3个小球.(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率;E?X?(2)记取出的3个小球上的最小数字为X,【答案】(1)710(2)分布列见解析,E?X??7【分析】(1)先确定3个不同数字的小球,然后再从确定的每种小球中取1个,通过计算可求符合要求的取法数,再除以总的取法数可得结果;(2)先确定X的可取值为1,2,3,然后计算出不同取值的概率,注意X的每种取值对应两种情况,由此可求分布E?X?列和期望.【小问1详解】记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M,先确定3个不同数字的小球,有C3种方法,41C1?C1?C1种取法,然后每种小球各取个,有222C3?C1?C1?C14P?M??4222=【小问2详解】由题意可知,X的可取值为1,2,3,当X?1时,分为两种情况:只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球,C1C2?C2C19P?X?1??2626=所以;C3148当X?2时,分为两种情况:只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球,:..C1C2?C2C12P?X?2??2424=所以;C378当X?3时,分为两种情况:只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球,C1C2?C2C11P?X?3??2222=所以,C3148所以X的分布列为:X123921P1471492110E?X??1??2??3??.,平行六面体ABCD?ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,1111AA?2,?CCB??CCD,?CCO?45?.1111CO?平面ABCD;(1)证明:1B?AA?D的正弦值.(2)求二面角1【答案】(1)证明见解析;22(2)3【分析】(1)根据题意,利用线面垂直的判定定理证明即可.(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的正弦值.【小问1详解】:..BC,DC,连接11因为底面ABCD是边长为2的正方形,所以BC?DC,?CCB???CC,又因为1111?CCB??CCD,所以BC?DC,所以1111OBDCO?BD,点为线段中点,所以11△?2,CO?AC?2,?CCO?45?,在11212CC2?OC2?CO2O??11?CO?2所以,?OC11则CC2?OC2?CO2?CO?OC,111又OC?BD?O,OC?平面ABCD,BD?平面ABCD,CO?【小问2详解】ABCDAC?BDCO?平面ABCD,所以建系如图所示,由题知正方形中,1??????????B0,2,0,D0,?2,0,A2,0,0,C?2,0,0,C0,0,2,则1???????????2,0,2?则,11????????AB???2,2,0?,AD???2,?2,0?,???BAAm??x,y,z?DAAn??x,y,z?设面的法向量为,面的法向量为,11111222??????AA?m?0?2x?2z?0???????1?11?m??1,1,?1?则???,?AB?m?0??2x?2y?0??11??????AA?n?0?2x?2z?0???????1?22?n??1,?1,?1????,?AD?m?0?2x?2y?0?????22:..B?AA?D大小为?,设二面角1???m?n1122cos????????sin??1?cos2??则33,m?n3?322B?AA?:y2?4x的焦点为F,过F的直线l交C于A,B两点,过F与l垂直的直线交C于D,E两点,其中B,D在x轴上方,M,N分别为AB,DE的中点.(1)证明:直线MN过定点;(2)设G为直线AE与直线BD的交点,求?GMN面积的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】(1)设出直线AB与直线CD的方程,联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理,结合题意,表示出直线MN后即可得定点坐标;(2)设出直线AE与直线BD的方程,联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点G的横坐标恒为?1,再结合面积公式及基本不等式即可得.【小问1详解】F?1,0?由C:y2?4x,故,由直线AB与直线CD垂直,故两只直线斜率都存在且不为0,CDx?my?1、x?my?1,有mm??1,设直线AB、分别为1212A?x,y?B?x,y?E?x,y?D?x,y?、、、,11223344?y2?4x联立C:y2?4x与直线AB,即有?,x?my?1?1消去x可得y2?4my?4?0,??16m2?16?0,11y?y?4m、yy??4,故12112x?x?my?1?my?1?m?y?y??2?4m2?2,则1211121121x?xy?y12?2m2?112?2m故,,2121????M2m2?1,2m,同理可得N2m2?1,2m,即1122当2m2?1?2m2?1时,12:..2m?2ml:y21?x2m21?2m????则MN2m21?2m21?11,???21m?mx2m2?12m?m?m?y21?x2m21?2m1121即???????m2?m211m?mm?mm?m21212121x2m2?1?2mm?2m2x1?2mm??1121??12,m?mm?mm?mm?m21212121x1?21y?x3?mm??1,即????由,12m?mm?mm?m2121211y??3?3??0故x?3时,有,m?m21MN?3,0?此时过定点,且该定点为,2m2?1?2m2?1时,即m2?m2时,由mm??1,即m??1时,当1212121lx????3,0?有:213,亦过定点,MN?3,0?故直线MN过定点,且该定点为;【小问2详解】A?x,y?B?x,y?E?x,y?D?x,y?由、、、,11223344y?yl:y?31?x?x??yy2?4x、y2?4x,则AE11,由x?x112231y?y?y2?4xy2y2?yy4xyyy?31x?1?y??1?113??13??1故y2y24y?yy?yy?yy?yy?y,31??3131313131?44:..?4xyyy??134xyy?yyyy???l:y??243131同理可得BD,联立两直线,即?,y?yy?y4xyy4242?y??24?y?yy?y?42424xyy4xyy?13??24有,y?yy?yy?yy?y313142424x?y?y??yy?y?y??4x?y?y??yy?y?y?,即421342312431yy?y?y??yy?y?y?x?24311342yy??4,同理yy??4,有,由4?y?y?y?y?12344231yy?y?y??yy?y?y?yyy?yyy?yyy?yyyx?24311342?234124134123故4?y?y?y?y?4?y?y?y?y?42314231?4?y?y?y?y??2413??1,4?y?y?y?y?4231x??1,故G1GGQ//xMNQS?y?y?x?x过点作轴,交直线于点,则,?GMN2MNQG????M2m2?1,2m、N2m2?1,2m,由112222y?y?2m?2m?2m??22m??4故,MN121m1m11m?