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意的自然数n和任意的实数x,不等式+++…+≤3tx4―4tx3―12tx2+33t―恒成立?若存在,求出这样的实数t的取值范围;若不存在,则说明理由.【猜题理由】本题以导数为背景,命制出数列与函数、导数、不等式的综合试题,重点考查数列的基本思想方法,综合较强,与高考的压轴题的难度相当,具有较强的预测性.【解答】(1)∵fノ(x)=2x,∴切线l2k―1的方程为y―x2k―12=2x2k―1(x―x2k―1),又切线l2k―1过点A2k―2(x2k―2,0),∴0―x2k―12=2x2k―1(x2k―2―x2k―1),且x2k―1>0,∴x2k―1=2x2k―2.∴x1=2.(2)又gノ(x)=(ex)ノ=ex,∴切线l2k的方程为y―e=e(x―x2k),而切线l2k过点A2k―1(x2k―1,0),∴0―e=e(x2k―1―x2k),且x2k>0,∴x2k=x2k―1+1.∴x2=x1+1=3.(3)由(1)(1)可知x2k=x2k―1+1=2x2k―2+1,即x2k+1=2(x2k―2+1),∴数列{x2k+1}为等比数列,且首项为4,∴x2k+1=4×2k―1,即x2k=2k+1――1=2x2k―2=2(2k―1)=2k+1―2,故数列{xn}通项公式为xn=(4)(理)令Sn=+++…+=+++…+,∴Sn=+++…+,两式相减得Sn=++++…+―=―=(1―)―,∴Sn=1――=1―.∴Sn+1―Sn=(1―)―(1―)=>0,∴数列{Sn}≥6时,2n+1=2(1+1)n=2(1+C+C+C+C+…+C+C+C+C)>4(1+C+C)>2(n2+n),∴0<<,而=0,∴Sn=(x)=3tx4―4tx3―12tx2+33t―,则hノ(x)=12t(x3―x2―2x)=12tx(x+1)(x―2),∴当t<0时,h(x)在(―∞,―1)和(0,2)上递增,在(―1,0)和(2,+∞)上递减,>0时,h(x)在(―∞,―1)和(0,2)上递减,在(―1,0)和(2,+∞)上递增,∴h(x)在x=―1或x=2处取得极小值,而h(―1)=―5t+33t―,h(2)=―32t+33t―,∴h(x)min=t―.∴对于任意的自然数n和任意的实数x不等式恒成立等价于t―≥1,开始输入x=4,y=2,z=0,n=1n=n+1x=x+3y=y+2z=z+n=2007?打印x,z否是结束n为偶数?是否x=4x(1)(4)(2)(3)(5)(7)(8)(9)(10)n=n+1(6)而t>0,所以有t2―t―6≥0,解得t≥3或t≤―2(舍).故存在这样的实数t,其取值范围为t≥3.【试题8】右图是某计算机的程序框图.(1)求打印出来的x的值;(2)求打印出来的z的值;(3)若将程序框图中的语句(9)“n=2007?”改为“z≥1?”,则张三同学说这是死循环(即一直无限的算下去而没有结果),而李四说不会是死循环,你认为哪个同学说的正确?并说出你的理由.【猜题理由】本题以程序框图作背景,情景新颖,而且体现了新课标的理念,与新课标联系紧密,是新课程教材(现行教材)向新课标教材过渡时期的优秀试题.【解答】(1)从数列角度来看,语句(4)(即“x=x+3”)可以理解为xn+1=xn+3(其中n∈N*),语句(6)(即“x=4x”)可以理解为xn+1=4xn(其中n∈N),而语句(2)~(6)是一个小循环,执行的程序是xn+1=(k∈N).同理语句(2)~(9)是一个大循环,其终止条件为“n=2007”.于是问题转化为:在数列{xn}中,x1=4,xn+1=(k∈N),求x2007.∴x2n+2=x2n+1+3=4x2n+3,即x2n+2+1=4x2n+4=4(x2n+1),令an=x2n+1,则an=1=4an,∴数列{an}为等比数列,且a1=x2+1=(x1+3)+1==8,∴an==8×4n―1=2×=2×4n―1,∴x2n―2=2×4n―1―1,∴x2n―1=4x2n―2=4(2×4n―1―1)=2×4n―=x2×1004―1=2×41004―4=22009―4,即打印出来的x的值为22009―4.(2)由于经过语句(2)~(7)的小循环后,n为偶数才执行语句(7)(即“y=y+4”),从数列角度来看,它可以理解为y2n+1=y2n―1+2(其中n∈N*).令bn=y2n―1,则bn+1=bn+2,数列{bn}为等差数列,且b1=y1=2,∴bn==2+2(n―1)=2n.∴y2n―1=(8)(即“z=z+”)执行的程序是z2n+1=z2n―1+.=,则z2n―}的前项和,∴z2n―1=++…+=++…+,两边同乘以得z2n―1=++…++,两式相减得z2n―1=+++…+―=+―=+(1―)―=―,∴z2n―1=―.故z2007=z2×1004―1=―,即打印出来的x的值为―.(3)由于对于任意的自然数n,都有z2n―1=―<1,即不存在自然数n,使得z2n―1≥.