文档介绍：第28计三角开门八面玲珑
●计名释义
三角函数是沟通平面几何,立体几何、解析几何、:
,变换多,技巧多;
,特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想;
,学科内自身应用和跨学科的综合应用.
●典例示范
【例1】设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是( )
A.-2 B. C.-3 D.
【解答】 a2+2b2=6=1. 设(θ∈[0,2π]),则
a+b=cosθ+sinθ=3cos(θ-φ),其中cosφ=,sinφ=,∴a+b≥-3,选C.
【点评】本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换,利用三角函数的有界性破题.
【例2】已知正数x,y满足3x2+2y2=6x,则x2+y2的最大值是.
【思考】对于本题,以下解法并不鲜见;
由条件y2=3x-x2.
∴x2+y2=x2+x2+3x=(x-3)2+.
∴当且仅当x=3时,(x2+y2)max =.你能发现这种解法有什么毛病吗?
先检验一下,如x=3,会有什么情况发生,将x=3代入已知条件,得:
3×9+2y2=18. ∴2y2=-9.
显然,我们得到了一个错误的等式,毛病在哪里呢?是没有分析条件所暗示的变量x,y的范围,正确的解法是:
∵y2=3x-x2≥0,∴x2-2x≤0. 得x∈[0,2],而x2+y2=(x-3)2+.
令z=(x-3)2+,则当x≤3时,z为增函数,已求x∈[0,2],故当x=2时,
zmax =(2-3)2+= 4,即(x2+y2)max= 4.
【评注】本题若用三角代换,可以避开陷阱,:
(x-1)2+y2=1.
设,则
x2+y2=(1+cosθ)2+sin2θ=cos2θ+2cosθ+(cosθ-2)2+.
由于cosθ∈[-1,1],故当cosθ=1时,(x2+y2)max =+=4.
此时,x=2,y=0.
【例3】设抛物线y2=4px(p>0)的准线交x轴于点M,过M作直线l交抛物线于A
、B两点,求AB中点的轨迹方程.
【解答】抛物线y2=4px的准线为x= -p,交x轴于M(-p,0),
设过M的直线参数方程为:(t为参数)代入y2=4px:
t2sin2θ-4ptcosθ+4p2=0 (1)
方程(1)有相异二实根的条件是:
1,
设方程(1)之二根为t1,t2,则t1+t2=
设AB之中点为Q(x,y), ∵t=.
∴,消去θ得:y2=2p(x+p),
∵|cotθ|>1,∴|y|>2p,即所求AB中点的轨迹方程为:y2=2p(x+p)(|y|>2p).
【点评】直线的参数方程即直线的三角形式,在处理解析几何中直线与曲线的关系中,常起重要作用,由于它能减少变量(由x,y两个变量减为一个变量t).所以其运算过程常比一般方程简便.
但在起用直线的参数方程时,必须用其标准式:
其中P(x0,y0)为定点,θ是直线的倾斜角:参数t表示动点M(x,y)与定点P(x0,y0)所连有向线段的数量,若M在P上方则t>0,反之t<0.
【例4】两圆O1与O2外离,其半径分别为r1,r2,直线AB分别交两圆于
A、C、D、B,且AC=DB,过A,B
的切线交于E,求证:.
【思考】本例是平面几何题吗?
不是,谁要试图仅用平几知识证明,
肯定难以成功,但若引入三角,则不然.
【解答】作两圆直径AF,BG,连
CF,DG,命∠EAB=∠F=∠α,∠EBA=∠G=∠β,
那么AC=2r1sinα,BD=2r2sinβ,
已知AC=BD,∴2r1sinα=2r2sinβ, 例4题图
,
△EAB中,由正弦定理:∴.
【例5】某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧,A距铁路m千米,B距铁路n千米. 在铁路上要建造两个火车站C与D,并修两条公路AC与BD. A地的矿石先用汽车由公路运至火车站C,然后用火车运至D,再用汽车运到冶炼厂B(如图所示)A、B在铁路MN上的投影A′、B′,火车每小时行v公里(v>u),要使运输矿石的时间最短,火车站C、D应建在什么地方?
【分析】求的是C、D建的地方,
为了将问题简化,暂不考虑车站D,
设法求出从A经过C到B′所需最短时间.
【解答】∵AC=A′C=mtanA,
∴CB′=A′B′-A′C=l-mtanA
∴从A经过C到B′所需时间为例5题图
t=
由于,,为常数,问题转化为求y=的最小值.
∵y′=,令y′=0,得时