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变换前就在s平面域进行低通到高通的转换,然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法,更容易计算。,阻带截止频率为s,通带截止频率为p,=1/=10,=。T=2,且stan()2有:tan(s)tan()()tan(),我们有1/1/:..1/1/(transitionratioorelectivityparameter)(discriminationparameter)为:,所需的巴特沃兹滤波器的阶数为:log(1/k)(1/k)我们取N=3,则?p2N2p()?s2N2s(),如取,则所求得的低通巴特沃兹滤波器为:c1H(s)a??3?2?(s/)2(s/)2(s/)1ccc11H(s)a3232(s/)2(s?/)2(s?/)???1用低通到高通的转换关系s1/s?将低通滤波器转换为高通滤波器:3sH(s)()11zH(z)H(s)()()1111z1z1z13(1z).(7分)信号包含一个原始信号和两个回波信号:.:..解:因为X(z)与Y(z)的关系如下:n2nY(z)()X(z)以y[n]为输入,x[n]为输出的系统函数为:1G(z)(z)nG(z)F(zd)12,:F(z)的极点在:(1j3)nr'()d它在单位圆内半径为r=,所以G(z)的极点在单位圆内处,所以G(z)是可实现的。《数字信号处理》.(8分)确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部分:{h[n]}{2j5,4j3,5j6,3j,7j2}(a){h[n]}{2j5,4j3,5j6,3j,7j2}(b)2.(8分)下式给出系统的输入与输出关系,判断它是线性的还是非线性的,移位不变还是移位变化的,稳定还是不稳定的,因果的还是非因果的。y[n]x[n]x[n]3.(6分)确定下列序列的平均功率和能量n5x[n]u[n]34.(6分)0nN1)为长度为N(N为偶数)的序列,其DFT变换为X[k]已知x[n](v[n]x[n3](1)(1)用X[k]表示序列N的DFT变换x[n]n(2)(2)如果(0nN1),求其N点DFT。Y(z)H(z)X(z)5..(8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数X(z)k2-k-11Z-k2-1Za2a1Y(z):..6.(10分)以以下形式实现传输函数为H(z)()。(1)(1)直接形式(2)一个一阶系统,两个二阶系统的级联。7.(10分)低通滤波器的技术指标为:j)()H(。8.(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器,通带内等波纹,且j)()(。9.(10分))信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号:y[n]=x[n]+[n-n]+[n-2n]dd求一个能从y[n]恢复x[n]*zaH(z)1a110(14分))一个线性移不变系统的系统函数为1az,这里(a)求实现这个系统的差分方程(b)证明这个系统是一个全通系统(即频率响应的幅值为常数的系统)(c)H(z)和一个系统G(z)级联,以使整个系统函数为1,如果G(z)是一个稳定系统,求单位采样响应g(n)。附录:表1一些常用的窗函数矩形窗(rectangularwindow)10nMw[n]0其它汉宁窗(Hannwindow)()MnMw[n]2M10其它汉明窗(Hammingwindow)()MnMw[n]2M10其它布莱克曼窗(Blackmanwindow)()()MnMw[n]2M12M10其它表2一些常用窗函数的特性WindowMainLobewidthRelativeMinimumTransitionML:..sidelobelevelstopbandbandwidthAattenuationslRectangular4/(2M+1)/(2M+1)/(2M+1)/(2M+1)=1归一化巴特沃兹滤波器的系统函数有以下形式:c1H(s)《数字信号处理》***总分:.(8分)确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部分:{h[n]}{2j5,4j3,5j6,3j,7j2}(a){h[n]}{2j5,4j3,5j6,3j,7j2}(b)*{h[n]}{7j2,3j,5j6,4j3,2j5}解:(a)*H[n]*(h[n]h[n]){,,5,,}cs*H[n]*(h[n]h[n]){,,j,,}ca*h[Nn]{2j5,7j2,3j,5j6,4j3}(b)*H[n]*(h[n]h[Nn]){2,,,,}pcs*H[n]*(h[n]h[Nn]){j5,,,,}pca2.(8分)下式给出系统的输入与输出关系,判断它是线性的还是非线性的,移位不变还是移位变化的,稳定还是不稳定的,因果的还是非因果的。y[n]x[n]x[n]解:(a)令:对应输入x[n]的输出为y[n],对应输入x[n]的输出为y[n],对应1122输入x[n]=x[n]+x[n]的输出为y[n],则有12y[n]x[n]x[n]y[n]x[n]x[n]111222y[n]x[n]x[n](x[n]x[n])(x[n]x[n])1212(x[n]x[n])(x[n]x[n])y[n]y[n]112212所以此系统为线性系统。:..(b)(b)设对应x[n]的输出为y[n],对应输入x[n]=x[n-n]的输出10为y[n],则1y[n]x[n]x[n]x[nn]x[(nn)]x[nn]x[nn]1110000y[n]x[n]x[n]y[nn]x[nn]x[nn]000y[nn]y[n]01此系统为移位变化系统。x[n]B(c)假设,则有y[n]x[n]x[n]x[n]x[n]2B所以此系统为BIBO稳定系统。(d)此系统为非因果系统。3.(6分)确定下列序列的平均功率和能量n5x[n]u[n]3能量为:nn0nn553122n2n2nx[n]()()()25/16x33519/25nnn0n0功率为:nkn0nk1151522n2nplimx[n]lim()lim()xk2k1k2k13k2k13nknkn0k11nk9119/25nplim()lim0xk2k125k2k119/25n04.(6分)已知x[n](0nN1)为长度为N(N为偶数)的序列,其DFT变换为X[k]v[n]x[n3](3)(1)用X[k]表示序列N的DFT变换x[n]n(4)(2)如果(0nN1),求其N点DFT。3kj6k/NV[k]WX[k]eX[k]解:(1)NNN1N1N1k1WnnknnkkNX[k]x[n]WWWNNNk1W(2)n0n0n0NY(z)H(z)X(z)5..(8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数V[z]X(z)k2-k-11Z-k2-1Za2:..111X[z]kz(kV(z)zV(z))kzV(z)V(z)解:1221V(z)X(z)121(kkk)zkz则2121111(zk)V(z)zzV(z)Y(z)又212Y[z][(k)z1z2]V(z)则有221112(k)zz2211X{z}1(kkk)z1kz221216.(10分)以以下形式实现传输函数为1512345H(z)()。(2)(1)直接形式(2)一个一阶系统,两个二阶系统的级联。x[n]解:(1)-1-1-1-1----[n]1511212H(z)()()()()(2)y[n]x[n]-1-1-1zzz----1-.(10分)低通滤波器的技术指标为:j)()H(。:..解:用窗函数法设计的低通滤波器,其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、、阻带波动相同,所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log()=-40dB,我们可以采用汉宁窗,虽然也可以采用汉明窗或布莱克曼窗,但是阻带衰减增大的同时,过渡带的宽度也会增加,。由于M=,()[n]2M1M520其它所以:,且:()/,所以滤波器为:sin((nM))ch[n]h[nM]w[nM]w[nM]td(nM)0n2M,8.(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器,通带内等波纹,且j)()(。解:我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器,然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器,再在z域进行低通到高通的转换。另一种方法是在双线性变换前就在s平面域进行低通到高通的转换,然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法,更容易计算。,阻带截止频率为c,通带截止频率为p,=1/=10,=。T=2,且stan()2有:tan(s)tan()()tan()?将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率,我们有1/1/.3138ss所以模拟滤波器的选择因子(transitionratioorelectivityparameter)(discriminationparameter)为::..,所需的巴特沃兹滤波器的阶数为:log(1/k)(1/k)我们取N=3,则?p2N2p()?s2N2s(),如取,则所求得的低通巴特沃兹滤波器为: