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A′=2OE,∴AA′=CA′,∴∠A′AC=∠A′CA=45°,∴∠AOE=∠ACA′=45°,∴AE=OE,OD=OA=AE,设AE=OE=x,则OD=OA=,∴DE=OD﹣OE=()x,在Rt△ADE中,由勾股定理得,=1,∴x2=,∴S=π?OE2=.O8.(2021?广东)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点E、F分别在线段BC、AD上,且EF∥CD,AB=AF,CD=DF.(1)求证:CF⊥FB;(2)求证:以AD为直径的圆与BC相切;(3)若EF=2,∠DFE=120°,求△ADE的面积.:..()(2)证明见解答;(3)【解答】(1)证明:∵=DF,∴∠DCF=∠DFC,∵EF∥CD,∴∠DCF=∠EFC,∴∠DFC=∠EFC,∴∠DFE=2∠EFC,∵AB=AF,∴∠ABF=∠AFB,∵CD∥EF,CD∥AB,∴AB∥EF,∴∠EFB=∠AFB,∴∠AFE=2∠BFE,∵∠AFE+∠DFE=180°,∴2∠BFE+2∠EFC=180°,∴∠BFE+∠EFC=90°,∴∠BFC=90°,∴CF⊥BF;(2)证明:如图1,取AD的中点O,过点O作OH⊥BC于H,∴∠OHC=90°=∠ABC,∴OH∥AB,∵AB∥CD,∴OH∥AB∥CD,∵AB∥CD,AB≠CD,∴四边形ABCD是梯形,∴点H是BC的中点,∴OH=(AB+CD),连接CO并延长交BA的延长线于G,:..=∠DCO,∵∠AOG=∠DOC,OA=OD,∴△AOG≌△DOC(AAS),∴AG=CD,OC=OG,∴OH是△BCG的中位线,∴OH=BG=(ABAG)=(AF+DF)=AD,∵OH⊥BC,∴以AD为直径的圆与BC相切;(3)如图2,由(1)知,∠DFE=2∠EFC,∵∠DFE=120°,∴∠CFE=60°,在Rt△CEF中,EF=2,∠ECF=90°﹣∠CFE=30°,∴CF=2EF=4,∴CE==2,∵AB∥EF∥CD,∠ABC=90°,∴∠ECD=∠CEF=90°,过点D作DM⊥EF,交EF的延长线于M,∴∠M=90°,∴∠M=∠ECD=∠CEF=90°,∴四边形CEMD是矩形,∴DM=CE=2,过点A作AN⊥EF于N,∴四边形ABEN是矩形,∴AN=BE,由(1)知,∠CFB=90°,∵∠CFE=60°,∴∠BFE=30°,:..△中,EF=2,∴BE=EF?tan30°=,∴AN=,∴S=S+S△ADE△AEF△DEF=EF?AN+EF?DM=EF(AN+DM)=×2×(+2)=.—复杂作图(共小题)9.(2023?广东)如图,在ABCD中,∠DAB=30°.(1)实践与操作:用尺规作图法过点D作AB边上的高DE;(保留作图痕迹,不要求写作法)(2)应用与计算:在(1)的条件下,AD=4,AB=6,求BE的长.:..()见作图;(2)6﹣2.【解答】解:(1)如图即为所求作的点;(2)∵cos∠DAB=,∴AE=AD?cos30°=4×=2,∴BE=AB﹣AE=6﹣(折叠问题)(共小题)10.(2021?广东)如图,边长为1的正方形ABCD中,,将△ABE沿BE折叠得到△FBE,BF交AC于点G,求CG的长.【答案】.【解答】解:延长BF交CD于H,连接EH.∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∠D=∠DAB=90°,AD=CD=AB=1,∴AC===,由翻折的性质可知,AE=EF,∠EAB=∠EFB=90°,∠AEB=∠FEB,∵点E是AD的中点,∴AE=DE=EF,:..=∠EFH=°,在Rt△EHD和Rt△EHF中,,∴Rt△EHD≌Rt△EHF(HL),∴∠DEH=∠FEH,∵∠DEF+∠AEF=180°,∴2∠DEH+2∠AEB=180°,∴∠DEH+∠AEB=90°,∵∠AEB+∠ABE=90°,∴∠DEH=∠ABE,∴△EDH∽△BAE,∴==,∴DH=,CH=,∵CH∥AB,∴==,∴CG=AC=.