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IPtanB1,因为0B,所以B-o4(2)osB可得:20,a4a12解得a6或a2(舍),因为SacsinB6272—6。222ABC11【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形内角和、三角形面积公式等知识,考查运算求解能力,求得tanB1,要注意写上条件0B,才能得到B—。,ABC是等腰直角三角形,CAB90°,AC2a,E,F分别为AC,BC的中点,沿EF将CEF折起,得到如图所示的四棱锥C-ABFE:..求证:AB平面AEC;(2)当四棱锥C-ABFE体积取最大值时,(i)写出最大体积;(ii)【答案】(1)见解析;(2)(i)C-ABFE最大体积为a-;(ii)-.26【解析】【分析】(1)由翻折前后的不变性,得EFAE,EFCE,且AEICEE,可证得AB平面AEC;(2)(i)当面CEF底面ABFE时,四棱锥C-ABFE的体积达到最大;(ii)当四棱锥C-ABFE体积取最大值时,可得EC平面ABFE.,以EAEF、EC所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出平面CAB的一个法向量和Cuu,再求两个向量夹角的余弦值,进而得到线面角的正弦值。【详解】证明:(1)因为ABC是等腰直角三角形,CAB90°,E,F分别为AC,BC的中点,所以EFAE,EFCE,又因为AEICEE,所以EF平面AEC,因为EF//AB,所以AB平面AEC.(2)(i)当面CEFABFEC-ABFE'底面时,四棱锥的体积达到最大,分别以EA、EF、EC所在直线为x轴、y轴、轴,建立空间直角坐标系,z(i因为四棱锥CABFE体积取最大值,):..UULTC(0,0,a),A(a,0,0),B(a,2a,0),F(0,a,0),AB一'—一、(0,2a,0)uuuCF(0,a,a).,CB(a,2a,vUULV设平面CAB的一个法向量为m(x,y,z),由mv油°,得,mAB0ax2ayaz0,ir2ay0取x1,得y0,=(1,0,1),.LTUUU1所以cos(2,所以CF与平面CAB所成角的正弦值为m,CF)所以CF与平面CAB所成角的大小为-.6【点睛】本题以翻折为背景,考查线面垂直的判定定理、棱锥体积、线面角等知LUULTr识,对线面角与向量的夹角关系要理清楚不能弄错,即sin|cosCF,n|。':T(x,y)cosxcosysinxsiny,其中x,yR.(1)设f(x)T(2x,—),求f(x)在区间[0,一]的最小值;32(2)设g(x)T(x-)T(x,—)2aT(x,—),[—,—]时,g(x)的66222最大值(用含有a的代数式表示).【答案】(1)一;(2)当a1时,sinx1,g(x)2a-;当1a1max24312时,sinxa,g(x)a—;当a1时,sinx1,g(x)2a-.maxmax4421根据定义求出f(x)cos(2x—),利用整体思想得到一2x—再:..【分析】3333,..........,2______由二角函数线得到,当2x一一时,f(x)取得最小值;33(2)由定义求得g(x)(sinxa)2a3,利用换元法,把问题转化成求一元24二次函数在闭区间上最大值问题。【详解】(1)由题意可知f(x)cos(2x—)大值,1当a1时,t1时,yg(x)2a-;maxmax4当1a1时,ta时,yg(x)a-;maxmax241当a1时,t1时,yg(x)2a-.maxmax4【点睛】本题是创新型问题,给定一个新定义,要会从定义中读取信息,本质考查三角函数和一元二次函数含参的最值问题,第(2)问根据对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论。,平面ABCD,且AA)平面1:..正方形ABCD的边长为2,E为棱AD中点,平面ABE分别与棱GDQC交于点F,G.(I)求证:AB//FG;求证:平面ACD平面ABE;(H)i求CG的长.(m)【答案】(I)见解析;见解析;(n)2.(m)【解析】【分析】(1)利用线面平行判定定理证得AB//平面GCD,再利用线面平行性质定理证得AB//FG;(2)证明直线AD平面ABE,即证明AD垂直平面ABE内两条相交直线AE,AB;.小,,一ULuruiuiinuuuuuur2(3)建立空间直角坐标系,,由ADBG0,求得=-1o3【详解】(1)证明:因为ABCD为正方形,所以AB//CD,又AB平面GCD,CD平面GCD,所以AB//,AB1平面ABE,i:..AB//FG.(2)证明:因为AA平面ABCD,,所以又ADAAABAD,iA,所以AB平面AAD,,且AAAD2,所以AEAD,又AEIABA,所以AD平面ABE,又AD平面ACD,1i所以平面ACD平面ABE.-i(3)如图所示,以AB,AD,AA分别x,y,z轴建立空间直角坐标系,因为2CG3AA6,3,AA2,则i因为C(2,2,0),B(2,0,0),C(2,2,3),A(0,0,2),D(0,2,0),miiruuuui,且[0,i],贝UG(2,2,3),1由(2)可知AD平面ABE,BG平面ABE,所以ADBG,一uuuuUULTr2所以ADBG(0,2,2)(0,2,3)460,即二一,3'【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面平行性质定理、面面垂直判定定理、空间向量求线段长等,,下列各式中与sin相等的是13aa1*3:..(——a)a——322