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anx$函数,$xeqZ)$;对于幂函数,零(负)指数幂的底数不能为零。(x)由有限个基本初等函数的四则运算而合成,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。:若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式解出。,求其定义域时需根据问题具体情况对字母参数进行分类讨论。,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义。。常用方法包括观察法、配方法、判别式法、不等式法、换元法、反函数法、数形结合法和函数的单调性法。、列表法和图象法三种。:..f,将集合A中任何一个元素对应到集合B中唯一的元素。记作。、B以及A到B的对应法则f,如果元素a和元素b对应,则我们把元素a称为f的原像,元素b称为f的像。】函数的单调性与最大(小)值1)函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上的增减性质。如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。我们可以通过定义、已知函数的单调性、函数图象以及复合函数来判定函数的单调性。2)单调性的性质在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数。对于复合函数y=f[g(x)],如果y=f(u)为:..为增,则y=f[g(x)]为增;如果y=f(u)为减,u=g(x)为减,则y=f[g(x)]为增;如果y=f(u)为增,u=g(x)为减,则y=f[g(x)]为减;如果y=f(u)为减,u=g(x)为增,则y=f[g(x)]为减。3)打函数函数f(x)=x+(a>0)的图象在(-∞,-a]、[a,+∞)上为增函数,在[-a,0)、(0,a]上为减函数。4)最大(小)值定义函数y=f(x)的最大值是指在定义域I内,存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)≤M;(2)存在x∈I,使得f(x)=M。我们称M是函数f(x)的最大值,记作fmax(x)=M。函数y=f(x)的最小值是指在定义域I内,存在实数m满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥m;(2)存在x∈I,使得f(x)=m。我们称m是函数f(x)的最小值,记作fmin(x)=m。如果存在x∈I,使得f(x)=m,则称m是函数f(x)的最小值,记作f(x)≥m;同时,函数的最大值为fmax(x)=m。:..x,是否满足f(-x)=-f(x)(奇函数)或f(-x)=f(x)(偶函数)的性质。判定奇偶性可以通过定义或者图象来进行。对于奇函数来说,在y轴两侧相对称的区间增减性相同,而对于偶函数来说,这个区间的增减性相反。在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数。函数的图象可以通过描点法或基本函数图象的变换来作图。变换包括平移变换、伸缩变换和对称变换,可以用来改变函数的位置、大小和形状。,如果$x^n=a$,其中,,$n>1$,,则$x$被称为$a$的$n$次方根。当$n$为奇数时,$a$的$n$次方根用符:..表示;当为偶数时,正数$a$的正的$n$次方根用符号表示,负的$n$次方根用符号表示;负数$a$没有$n$次方根。$a$叫做根式,$n$叫做根指数,$a$叫做被开方数。当$n$为奇数时,$a$为任意实数;当$n$为偶数时,。根式的性质:;当$n$为奇数时,;当$n$为偶数时,。分数指数幂的意义如下:,其中$a>0$,,且$n>1$。负分数指数幂没有意义。底数取倒数,指数取相反数。分数指数幂的运算性质如下:,其中$a>0$,;$(a^r)^s=a^{rs}$,其中$a>0$,;,其中$a>0$,$b>0$,。:..$y=ax$($a>0$,$aeq1$)是一种特殊的函数,其图象在第一象限上方,经过点$(0,1)$,在$x$轴上有一个渐近线$y=0$。指数函数的定义域是,值域是。在$x>0$时,函数值随$a$的增大而增大;在$x<0$时,函数值随$a$的增大而减小。指数函数在上是增函数,非奇非偶函数。当$a>1$时,图象在第一象限内,$a$越大,图象越高;在第二象限内,$a$越大,图象越低。当$0<a<1$时,图象在第一象限内,$a$越小,图象越高;在第二象限内,$a$越小,图象越低。】对数与对数运算对数函数是数学中的一种重要函数,它与指数函数密切相关。对数的定义是:若$a^x=N(a>0,且,则$x$叫做以$a$为底$N$的对数,记作$x=log_aN$,其中$a$叫做底数,$N$叫做真数。需要注意的是,负数和零没有对数。对数式与:..。常用的对数是以$10$为底的对数,记作$lgN$,即$log_{10}N$;自然对数是以$e$为底的对数,记作$lnN$,即$log_eN$(其中$e=2.…$)。对数的运算性质包括加法、减法、数乘、换底公式等。需要注意的是,对数的底数必须大于$0$且不等于$1$,真数必须大于$0$。】对数函数及其性质对数函数是一种特殊的函数,其定义为$y=log_ax(a>1且a≠1)$。对数函数的图象过定点$(1,0)$,即当$x=1$时,$y=0$。对数函数在上是增函数,在$(0,1)$上是减函数。对数函数的值域为实数集$R$,定义域为正实数集。:..的定义域为$A$,值域为$C$,从式子$y=f(x)$中解出$x$,得式子。如果对于$y$在$C$中的任何一个值,通过式子,$x$在$A$中都有唯一确定的值和它对应,那么式子$x=f^{-1}(y)$表示$x$是$y$的函数,函数叫做函数$y=f(x)$的反函数,记作$y=f^{-1}(x)$,惯上改写成。,即原函数的值域;从原函数式y=f(x)中反解出x=f^-1(y);将x=f^-1(y)改写成y=f^-1(x),并注明反函数的定义域。:原函数y=f(x)与反函数y=f^-1(x)的图象关于直线y=x对称;②函数y=f(x)的定义域、值域分别是其反函数y=f^-1(x)的值域、定义域;③若P(a,b)在原函数y=f(x)的图象上,则P'(b,a)在反函数y=f^-1(x)的图象上;④一般地,函数y=f(x)要有反函数则它必须为单调函数。:一般地,函数叫做幂函数,其中x为自变量,α是常数。幂函数的图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象。幂函数在(0.+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1)。幂函数的单调性与奇偶性与α的正负有关,α为奇数时,幂函数为奇函数,为偶数时,幂函数为偶函数。当α=p/q(其:..互质,p和qZ)时,若p为奇数q为奇数,则y=x^(p/q)是奇函数,若p为奇数q为偶数,则y=x^(p/q)是偶函数,若p为偶数q为奇数,则y=x^(p/q)是非奇非偶函数。幂函数的图象特征与的大小有关。:二次函数的解析式有三种形式,分别是一般式、顶点式和两根式。求二次函数解析式的方法与已知条件有关,已知三个点坐标时宜用一般式,已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式。二次函数图象的性质二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(aeq0)$的图象是一条抛物线,对称轴方程为$x=- rac{b}{2a}$,顶点坐标是 rac{b}{2a}, rac{4ac-b^2}{4a}ight)$。当$a>0$时,抛物线开口向上,函数在 rac{b}{2a}]$上递减,在上递增,当$x=- rac{b}{2a}$时,$f_{min}(x)= rac{4ac-b^2}{4a}$。:..时,抛物线开口向下,函数在 rac{b}{2a}]$上递增,在上递减,当$x=- rac{b}{2a}$时,$f_{max}(x)= rac{4ac-b^2}{4a}$。一元二次方程根的分布设一元二次方程$ax^2+bx+c=0(aeq0)$的两实根为$x_1,x_2$,且。令$f(x)=ax^2+bx+c$,从以下四个方面来分析此类问题:开口方向:$a$②对称轴位置:$x=- rac{b}{2a}$③判别式:④端点函数值符号。①$k rac{4ac-b^2}{4a}$。②,此时$f(k)= rac{4ac-b^2}{4a}$。③$x_10$。④$k0$或$a>0$,此时。。,使其更加清晰易懂。:..对于二次函数,我们可以通过一些方法来求解它的根和最值。(x)=0的根,可以使用以下公式:x=(-b±√(b^2-4ac))/2a其中,b^2-4ac被称为判别式,它可以告诉我们方程的根的性质。(x)在闭区间[p,q]上的最值,可以使用以下方法:当a。0时(开口向上)如果p<-b/2a,则最小值为f(p)②如果p≤-b/2a≤q,则最小值为f(-b/2a)③如果-b/2a。q,则最小值为f(q):..q<-b/2a,则最大值为f(q)②如果-b/2a≤q,则最大值为f(-b/2a)③如果-b/2a。p,则最大值为f(p)当a<0时(开口向下)①如果p<-b/2a,则最大值为f(p)②如果p≤-b/2a≤q,则最大值为f(-b/2a)③如果-b/2a。q,则最大值为f(q)①如果q<-b/2a,则最小值为f(q)②如果p≤-b/2a≤q,则最小值为f(-b/2a)③如果-b/2a。p,则最小值为f(p)函数的应用函数的零点指的是函数f(x)=0的解。因此,我们可以通过求解函数的零点来解方程。总结二次函数的根和最值可以通过一些方法来求解。函数的零点可以帮助我们解方程。:..y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。换句话说,方程f(x)=有实数根,当且仅当函数y=f(x)的图像与x轴有交点,当且仅当函数y=f(x)有零点。3、函数零点的求法:对于函数y=f(x),它的零点可以通过以下两种方法求得::求解方程f(x)=0的实数根;:对于不能用求根公式求解的方程,可以通过函数的性质找出零点。4、二次函数的零点:对于二次函数,它的零点可以通过以下三种情况来判断:>0时,方程ax^2+bx+c=0有两个不等的实根,因此函数有两个零点;△=0时,方程ax^2+bx+c=0有两个相等的实根(即二重根),因此函数有一个二重零点或二阶零点;△<0时,方程ax^2+bx+c=0无实根,因此函数无零点,也就是与x轴无交点。