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2,+∞)上单调递增时,求实数a的取值范围.【解答】解:(1)由函数f(x)为奇函数可得f(﹣x)=﹣f(x),则(a+1)(﹣x)2+(a﹣1)(﹣x)+(a2﹣1)=﹣(a+1)x2﹣(a﹣1)x﹣(a2﹣1),所以,解得a=﹣1.(2)当a=﹣1时,f(x)=﹣2x,为减函数,不符合题意;当a≠﹣1时,函数f(x)=(a+1)x2+(a﹣1)x+(a2﹣1)的对称轴为x=﹣,因为函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,所以,,:在一节40分钟的网课中,学生的注意力指数y与听课时间x(单位:分钟)之间的变化曲线如图所示,当x[0,16]时,曲线是二次函数图象的一部分;当x∈[16,40]时,曲线是函数y=80+(x+a)图象的一部分,当学生的注意力指数不高于68时,称学生处于“欠佳听课状态”.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)在一节40分钟的网课中,学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长?(精确到1分钟)【解答】解:(1)当x∈(0,16]时,设f(x)=b(x﹣12)2+84(b<0),∵f(16)=b(16﹣12)2+84=80,∴b=﹣,∴.当x∈(16,40]时,f(x)=(x+a)+80,12页共15页:..()=(16+a)+80=80,解得a=﹣15,∴f(x)=(x﹣15)+,;(2)当x(0,16]时,令,得x∈[0,4],当x∈(16,40]时,令f(x)=log(x﹣15)+80<68,得x≥15+﹣12≈,∴x∈[30,40],故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为4﹣0+40﹣30=(x)=2cosxsin(x﹣)+sin2x+sinxcosx.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若f(α)=且0<α<,求cos2α的值.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=2cosxsin(x﹣)+sin2x+sinxcosx=2cosx(sinx?﹣cosx?)+sin2x+sinxcosx=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣),令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,可得函数的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈.(Ⅱ)∵f(α)=2sin(2α﹣)=,∴sin(2α﹣)=,∵0<α<,∴2α﹣为锐角,cos(2α﹣)==,13页共15页:..=cos[(2α﹣)+]=cos(2α﹣)cos﹣sin(2α﹣)sin=﹣=..(Ⅰ)设α∈[0,2π],且(α)=1,求α的值;(Ⅱ)将函数y=f(2x)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x),求满足g(x)≤2的实数x的集合.【解答】解:(Ⅰ)由=,由,得sin(α+)=0,又α∈[0,2π],得或.(Ⅱ)由题知,,由g(x)≤2,得,∴,∵,,∴,或,∴,或,即所求x的集合为,,决定发放一批消费券,已知每投放a(0<a≤4,a∈)亿元的消费券,这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x(天)的变化的函数关系式近似为y=,其中f(x)=,若多次投放消费券,:..)若第一次投放2亿元消费券,则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%;(2)政府第一次投放2亿元消费券,4天后准备再次投放亿元的消费券,若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%,试求m的最小值.【解答】解:(1)依题意,a=2,y=,要使y≥,则f(x)≥≤x≤2时,,得1≤x≤2;当2<x≤7时,7﹣x≥2,得2<x≤5.∴1≤x≤5,即第一次投放2亿元消费券,则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%;(2)设再次投放m亿元消费券x天,则,,0≤x≤2,由≥,得m≥,令t=3+x,t[3,5],t∈*,则m≥=,而=,当且仅当,即t=2,即x=时,上式等号成立,∴m的最小值为20﹣.15页共15页