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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..专题87离散型随机变量分布列与数字特征一、基础知识:(一)离散型随机变量分布列:1、随机变量:对于一项随机试验,会有多个可能产生的试验结果,则通过确定一个对应关系,使得每一个试验结果与一个确定的数相对应,在这种对应关系下,数字随着每次试验结果的变化而变化,将这种变化用一个变量进行表示,称这个变量为随机变量(1)事件的量化:将试验中的每个事件用一个数来进行表示,从而用“数”即可表示事件。例如:在扔硬币的试验中,用1表示正面朝上,用o表示反面朝上,则提到1,即代表正面向上的事件。将事件量化后,便可进行该试验的数字分析(计算期望与方差),同时也可以简洁的表示事件(2)量化的事件之间通常互为互斥事件(3)随机变量:如果将事件量化后的数构成一个数集,则可将随机变量理解为这个集合的代表元素。它可以取到数集中每一个数,且每取到一个数时,就代表试验的一个结果。例如:在上面扔硬币的试验中,设向上的结果为g,己=1”代表“正面向上”,己=0”代表反面向上”,(4)随机变量的记法:随机变量通常用X,Y新,等表示(5)随机变量的概率:记P(X=x)为X取X,所代表事件发生的概率2、离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量,离散型随机变量的取值集合可以是有限集,也可以是无限集3、分布列:一般地,若离散型随机变量X可能取得不同值为也冉,,也,X取每一个值房(/=1,2,/)的概率P(X=Xj)=Pj,以表格的形式表示如下:XX1x2X,XnPAp2PiPn称该表格为离散型随机变量X的分布列,分布列概率具有的性质为:(1)pt>0,/-1,2,,n(2)月+〃2++P“=L此性质的作用如下::..①对于随机变量分布列,概率和为1,有助于检查所求概率是否正确②若在随机变量取值中有一个复杂情况,可以考虑利用概率和为1的特征,求出其他较为简单情况的概率,利用间接法求出该复杂情况的概率(二)常见的分布:1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布:(1)随机变量的取值:随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.(2)每个特殊的分布都有一个试验背景,在满足(1)的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布2、常见的分布1事件发生(1)两点分布:一项试验有两个结果,其中事件A发生的概率为p,令X={'士H+,则0,事件未发生X的分布列为:X01P1-〃P则称X符合两点分布(也称伯努利分布),其中p=p(x=l)称为成功概率(2)超几何分布:在含有M个特殊元素的N个元素中,不放回的,其中含有特殊元素的个厂ky^rn—kX,尸0,1,2,数记为则有p(x=k)=M,阵,m,其中m=rmn{M,n}n<N,M<N,n,M,N&N*即:X01m0?^?11P则称随机变量X服从超几何分布,记为XH(N,M,n)(3)二项分布:在次独立重复试验中,事件A发生的概率为p,设在次试验中事件A发生的次:..数为随机变量X,则有P(x=k)=C^pk(1-Pyk,k=0,1,2,,即:X01knc^-pVC0(l-P)zC:p”P则称随机变量X符合二项分布,记为XB(n,p)(三)数字特征一一期望与方差1、期望:已知离散性随机变量g的分布列为:g§5pPlP2PiP“则称月§+。2圣++P,^?的值为g的期望,记为常(1)期望反映了随机变量取值的平均水平,换句话说,是做了〃次这样的试验,每次试验随机变量会取一个值(即结果所对应的数),将这些数进行统计,并计算平均数,当〃足够大时,平均数无限接近一个确定的数,这个数即为该随机变量的期望。例如:连续投篮三次,设投进篮的次数为随机变量X,那么将这种连续三次投篮的试验重复做很多次(比如104次),统计每次试验中X的取值X],X,,,Xie,则这10000个值的代数平均数将很接近期望政(2)期望的运算法则:若两个随机变量&,〃存在线性对应关系:&=凹+b,则有E^-E^cq+y>-a耳+①&=ar!+b是指随机变量取值存在对应关系,且具备对应关系的一组(〃,&)代表事件的概率相同:若〃的分布列为:7%PAP2Pn则&=ar/+b的分布列为:gar)x+bar/2+bar/n+b:..PP1P1②这个公式体现出通过随机变量的线性关系,可得期望之间的联系。在某些直接求期望的题目中,若所求期望的随机变量不符合特殊分布,但与一个特殊分布的随机变量间存在这样的关系,那么在计算期望时,便可借助这个特殊分布的随机变量计算出期望2、方差:已知离散性随机变量g的分布列为:g做4PP1P2PiPn且记随机变量g的期望为Eg,用。&表示g的方差,则有:%=P>佑—E打+-日++p“(孕-?(1)方差体现了随机变量取值的分散程度,与期望的理解类似,是指做了〃次这样的试验,每次试验随机变量会取一个值(即结果所对应的数),将这些数进行统计。方差大说明这些数分布的比较分散,方差小说明这些数分布的较为集中(集中在期望值周围)(2)在计算方差时,除了可以用定义式之外,还可以用以下等式进行计算:设随机变量为g,则Og=E(亍)_(亏(3)方差的运算法则:若两个随机变量g,〃存在线性对应关系:&=arj+b,则有:Dg=D(arj+b)=crDr/3、常见分布的期望与方差:(1)两点分布:则EX=p,DX=p(l-p)(2)二项分布:若XB(n,p),则EX=iip,DX=npQ_p)》—“/、,MnM(N-M)(N-n)(3)超几何分布:若XH(N,M,n),则成=〃?一,DX=—*,,八、——Z'7NN2(N-1)注:通常随机变量的期望和方差是通过分布列计算得出,如果题目中跳过求分布列直接问期望(或方:..差),则可先观察该随机变量是否符合特殊的分布,或是与符合特殊分布的另一随机变量存在线性对应关系。从而跳过分布列中概率的计算,直接利用公式得到期望(或方差)二、典型例题:例1:为加强大学生实践,创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛,竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序,通过预赛,选拔出甲,乙等五支队伍参加决赛(1)求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率(2)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X,求X的分布列和数学期望(1)思路:本题可用古典概型进行解决,设。为“五支队伍的比赛顺序”,则〃(O)=g,事件A为“甲乙排在前两位”,则71(A)=定?可,从而可计算出P(A)解:设事件A为“甲乙排在前两位”*(a)=44=￥=j_'7n(Q)同10(2)思路:一共五支队伍,所以甲乙之间间隔的队伍数X能取得值为0,1,2,3,同样适用于古典概型。可先将甲,乙占上位置,然后再解决“甲的顺序与其他三支队伍间的顺序问题。解:X可取得值为0,1,2,3心=。)=十TP(x=】)=V咤=2)=V=!=3)=、=土???X的分布列为:X012323￡1P~5105102311EX=0x—+lx2x—+3x——=1310510例2:为了提高我市的教育教学水平,市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参:..加支教活动。这10名教师中,语文教师3人,数学教师4人,:(1)选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率;(2)选出的3人中,语文教师人数X的分布列和数学期望.(1)思路:本题可用古典概型来解,事件。为“10名教师中抽取3人”,则席,事件A为“语文教师人数多于数学教师人数”,则分为“1语0数”,“2语1数”,“2语0数”,“3语”四种情况,分别求出对应的情况的种数,加在一起即为则尸(A)即可求出。为了更好的用数学符号表示事件,可使用字母+数字角标”的形式分别设出人中有,名语文教师”和人中有J名数学教师”。设事件A为“3人中有,名语文教师”,Bj为“3人中有J名数学教师”,事件A为“语文教师人数多于数学教师人数”p(A)=p(A4)+P(AB0)+尸(aw+P(A)CC;Cf_9+9+12+l_31布+希+亏+评=120=120(2)思路:本题可将语文老师视为特殊元素,则问题转化为“10个元素中不放回的抽取3个元素,特殊元素个数的分布列”,即符合超几何分布。随机变量X的取值为0,1,2,3,按超几何分布的概率计算公式即可求出分布列及期望语文教师人数X可取的值为0,1,2,3,依题意可得:XH(1O,3,3)C335户(X=1)=等63?.?P(x=o)=才Mo120cio1202)r*=21「31()C,30120户(x=3)=T~120X的分布列为X01233563211P120120120120sc35,63c21c19EX—Ox----1x-----2x-----3x----=—120**********:..例3:某市为准备参加省中学生运动会,对本市甲,乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试,用茎叶图表示出甲,乙两队运动员本次测试的成绩(单位:cm,且均为整数),同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图,跳高成绩在185cm以上(包括185cm)定义为“优秀”,由于某些原因,茎叶图中乙队的部分数据丢失,但已知所有运动员中成绩在190cm以上(包括190cm)的只有两个人,且均在甲队(1)求甲,乙两队运动员的总人数。及乙队中成绩在[160,170)(单位:cm)内的运动员人数力(2)在甲,乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人,已知至少有1人成绩为优秀”,求两人成绩均“优秀”的概率(3)在甲,乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛,求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望键是明确两个统计图的作用,茎叶图所给的数据为甲,乙两队的成绩,但乙队有残缺,所以很难从茎叶图上得到全体运动员的人数。在频率分布直方图中,所呈现的是所有运动员成绩的分布(但不区分甲,乙队),由此可明确要确定全体运动员的人数,需要通过直方图,要确定各队的情况,则需要茎叶图。要补齐乙队的数据,则两个图要结合着看。在第(1)问中,可以以190cm以上的人数为突破口,*10=,而190cm以上只有2人,从而得到全体人数,然后再根据频率直方图得到[160,170)的人数,减去甲队的人数即为b解:由频率直方图可知:*10==——=40(人)[160,170)=,=12:..由茎叶图可知:甲队成绩在[160,170)=12—3=9(人)(2)思路:通过频率直方图可知180cm以上运动员总数为:(+)X10X40=10(人),结;*),合茎叶图可知乙在180cm以上不缺数据。题目所求的是条件概率,所以可想到公式户㈤A)=分别求出“至少有1人成绩为'优秀和“两人成绩均'优秀的概率,然后再代入计算即可解:由频率直方图可得:180cm以上运动员总数为:(+)x10x40=10由茎叶图可得,甲乙队180cm以上人数恰好10人,且优秀的人数为6人乙在这部分数据不缺失设事件A为“至少有1人成绩优秀”,事件6为“两人成绩均优秀”.?.P(A)=1-P(A)=1--^=1|P(AB)=^C2=-1?P㈤A心广3,13一13E)(3)思路:由(2)及茎叶图可得:在优秀的6名运动员中,甲占了4名,乙占了2名,依题意可知X的取值为0,1,2,且X符合超几何分布,进而可按公式进行概率的计算解:由(2)可得:甲有4名优秀队员,乙有2名优秀队员X可取的值为0,1,2厂0厂21w(x=。)号车户(X=l)=普815P(X=2)=^>6_215-5C6.?.X的分布列为:X012:..82155例4:现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记^=,(1)思路:按题意要求可知去参加甲游戏的概率为*=—=一,参加乙游戏的概率为P,=一=一,46363个人扔骰子相互独立,所以属于独立重复试验模型,利用该模型求出概率即可。2142解:依题意可得:参加甲游戏的概率为[=—=一,参加乙游戏的概率为P,=一=一6363设事件A为“有,个人参加甲游戏”(2)思路:若甲游戏人数大于乙游戏人数,即为事件A又因为A,a互斥,所以根据加法公式可得:p=p(a3)+p(a4),进而可计算出概率解:设事件3为“甲游戏人数大于乙游戏人数”...3=AA=阳&)=P(A)+P(a)=c:g|局+。心W(3)思路:g=|x—H表示两个游戏人数的差,所以S可取的值为0,2,4。g=0时对应的情况为A,&=2时对应的情况为A,&,g=4时对应的情况为4),4,从而可计算出对应的概率,得到分布列:..解:g可取的值为0,2,4???W=o)=心)=篮田目省听=2)=心)+心)=明的心顷m4081P(g=4)=P(&)+P(a)=C?g024_8_4017P278181.?.e^oxA+2x|2+4x1ZJ1488?例5:某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是L,遇到红灯时停留的时间都是2分钟3(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间g的分布列及期望,方差解:(1)思路:条件中说明各路口遇到红灯的情况相互独立,。在第三个路口首次遇到红灯,即前两次没有遇到,第三次遇到红灯。使用概率乘法即可计算124P(A)=g,P/一(A、)=i-p(A)=-解:设事件为“在第’个路口遇到红灯”,则设事件a为“第三个路口首次遇到红灯”即A=AAA?,?P(A)=P(AaA)=P(A)P(a)P(A)=f:=命(2)思路:在上学途中遇到一次红灯就需要停留2分钟,一共四个路口,所以要停留的时间g可取的值为0,2,4,6,8,依题意可知g的取值对应的遇到红灯次数〃为0,1,2,3,4,且该模型属于独立重复试验模型,所以可用形如二项分布的公式计算遇到红灯次数的概率,即为对应g取值的概率,从而列出分布列,在计算期望与方差时,如果借用分布列计算,虽然可得到答案,但过程比较复杂(尤其是方:..差),考虑到〃符合二项分布,其期望与方差可通过公式迅速得到,且s与〃之间存在联系:&所以先利用二项分布求出〃的期望与方差,再利用运算公式得到g的期望方差即可解:g可取的值为0,2,4,6,8,设遇到红灯的次数为〃,则〃对应的值为0,1,2,3,4*(g=o)=户(〃=o)=c|n=￡P苗=2)=p(〃=i)=mG]侍=务f)01JJo1”4)心=2)2凯沪苔”6)=晌=3)2(罪扁P渚=8)=P(〃=4)=C:19==S的分布列为:g02468163224_8_P8?81818181〃E77=?P=4-|=|D77=np(l-p)=4-|-|=|g=2〃QEg=E(2〃)=2E〃=&32Dg=D(2〃)=22￡>〃=5小炼有话说:本题的亮点在于求g的期望方差时,并不是生硬套用公式计算,而是寻找一个有特殊分布的随机变量〃,通过两随机变量的联系(线性关系)和〃的期望方差来得到所求。例6:甲,乙去某公司应聘面试,该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,,2道题不能完:..2成;应膊者乙每题正确完成的概率都是一,且每题正确完成与否互不影响3(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望;(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大?(1)思路:依题意可知对于甲而言,只要在抽题的过程中,抽中甲会答的题目,则甲一定能够答对,所以甲完成面试题数的关键在于抽题,即从6道题目中抽取3道,抽到甲会的4道题的数量X,可知X符合超几何分布;对于乙而言,抽的题目是无差别的,答对的概率相同,所以乙正确完成面试题数丫符合二项分布。从而利用超几何分布与二项分布的概率公式即可得到分布列和方差解:(1)设X为甲正确完成面试题的数量,丫为乙正确完成面试题的数量,依题意可得:XH(6,3,4),X可取的值为1,2,3心=1)=芝1P(X=2)=竺耳-15C;5???X的分布列为:X123￡3￡p555131.?.EX=lx—+2x—+3x—=2555”。)=5日p(r=1)=c(t}?..?F的分布列为:Y0123:..1248P279927]248.?.EY=Ox——+lx-+2x-+3x——=2279927(2)思路:由(1)可知EX=EY,说明甲,乙两个人的平均水平相同,所以考虑甲,乙发挥的稳定性,,比较它们的大小即可解:DX=|x(1-2)2+(2-2)2x|+(3-2)2x|=|212DY=np(l-p)=3x---=—')333DX<DY???甲发挥的稳定性更强,则甲胜出的概率较大小炼有话说:(1)第(2)问在决策时,用到了期望和方差的意义,即期望表明随机变量取值的平均情况,而方差体现了随机变量取值是相对分散(不稳定)还是集中(稳定),了解它们的含义有助于解决此类问题(2)当随机变量符合特殊分布时,其方差也有公式以方便运算:①二项分布:若X则DX—np(l—p)②超几何分布:若XH(N,M,n),则DX=血(七肱)(:-■)'7N'(N-1)例7:某个海边旅游景点,有小型游艇出租供游客出海游玩,收费标准如下:租用时间不超过2小时收费100,超过2小时的部分按每小时100收取(不足一小时按一小时计算).现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇,、乙租用不超过两小时的概率分别为LI,租用2小时以上且不超32过3小时的概率分别为,(1)求甲、乙两人所付费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量g,求&的分布列与数学期望.:..解:(1)设事件A为“甲,乙租用时间均不超过2小时”.?.P(A)=!2_61事件B为“甲,乙租用时间均在2小时至3小时之间236事件C为“甲,乙租用时间均在3小时至4小时之间111*)=1323613故所求事件的概率P=P(A)+P(B)+P(C)=—(2)&的取值可以为200,300,400,500,600111则P(g=200)=:—X—=:—236=300)=|11113x—+—X—32236P(4=400)=-x-+a----)x-+(l----)x-=—-2323332236P(^=500)=-x(l----)+(l-i-i)xi=—一22323336吗=600)=(l-L-L)x(l-L-1)=上-232336故S的分布列为:200300400500600131151P636363636131151Eg=200x—+300x--1-400x---1-500x----1-600x——=350-636363636例8:将一个半径适当的小球放入如图所示的容器上方的入口处,小球自由下落,在下落的过程中,将遇到黑色障碍物3次,最后落入A袋或B袋中,已知小球每次遇到障碍物时,向左,右两边下落的概率分别是上,233:..(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率(2)在容器入口处依次放入4个小球,记g为落入B袋中的小球个数,求*的分布列和数学期望(1)思路:本题的关键要抓住小球下落的特点,通过观察图形可得:小球要经历三层障碍物,且在经历每层障碍物时,只有一直向左边或者一直向右边下落,才有可能落到A袋中,其余的情况均落入3袋,所以以A袋为突破口即可求出概率解:设事件A为“小球落入A袋”,事件3为“小球落入3袋”,可知B=A依题意可得:P(A)=f—+f—T=——+=—',⑶⑶272732?p(3)=i-p(A)=a(2)思路:每个小球下落的过程是彼此独立的,所以属于独立重复试验模型,由(1)可得:在每次试验中,落入3袋发生的概率为,,所以g服从二项分布,即&运用二项分布概率计算公式即可得到答案解:g可取的值为0,1,2,3,4,可知己*=。)2印W「EE觥房心如采混)2印印哇S的分布列为:g01234_8_243216P8?818181818E^=4?-=一33:..例9“已知正方形ABCQ的边长为2,E、F、G、丑分别是边AB、BC、CD、D4的中点.(1)在正方形ABCD内部随机取一点P,求满足的概率;(2)从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的距离为g,求随机变量g的分布列与数学期望.(1)思路:首先明确本题应该利用几何概型求解(基本事件位等可能事件,且基本事件个数为无限多个)。。正方形内部的点”,所以S(Q)=22=4,设事件A为“〈e,则P点位于以H为圆心,/■为半径的/圆内,所以S(A)为正方形与圆的公共部分面积,计算可得:|A]D|S(A)=+Sdhg+S扇形EHG=1+^,从而算出户(A)解:设事件A为“”■FC171I7S(Q)48(2)思路:八个点中任取两点,由正方形性质可知两点距离g可取的值为1应,2,焰,2也,概率的计算可用古典概型完成。。为“八个点中任取两点”,则=亡=28,当<^=1时,两点为边上相邻两点,共8组;当&=也时,该两点与中点相关有4组;当&=2时,除了正方形四条边,还有EG,HF,所以由6组;当&=必时,该两点为顶点与对边中点,共8组;当&=2皿时,只能是正方形对角线AC,BD,有2组,根据每种情况的个数即可计算出概率,完成分布列解:g可取的值为1,J云2,J5,2逝44C;2822C;2828Og的分布列为::..g1V22752V2￡2_3_2P7771414,2r-1o3E2515+2a/2+2a/5..E(^—lx—fy2x—2x---丁5x—2J2x——--------------77147147例10:一种电脑屏幕保护画面,只有符号和”错误!未找到引用源。随机地反复出现,每秒钟变化一次,每次变化只出现和错误味找到引用源。之一,其中出现的概率为p,出现错误!未找到引用源。的概率为q,若第人次出现错误!未找到引用源。,则记%=1错误!未找到引用源。;出现错误!未找到引用源。,则记位=-1错误!未找到引用源。,令S“—++错误!未找到引用源。?31(1)当p=—,q=—错误!未找到引用源。时,求S,(2)当p=-,q=-时,求58=2且S,20(/=1,2,3,4)错误!未找到引用源。的概率.(1)思路:依题意可知S3表示试验进行了三次,可能的情况为,且符合独立重复试验模型。根据题目要求可知对应S’的取值为-3,-1,1,3,分别计算出概率即可列出分布列解:S’的取值为一3,—1,1,3.?.F(S,=-3)=e=G)=土心=-1)=沥=(:)=%心=1)=沏=3.(雅)=芸P(S,=3)=p,=印号.?.S3的分布列为:S3-3-113192727P64646464:..1o77773￡(S,)=-3x—+(-l)x—+lx—+3x—=-v3764v76464642(2)思路:由58=2可知在8次试验中出现5次”O”,3次。而§20(7=1,2,3,4)可知在前四次中,出现”O”的次数要大于出现的次数,可根据前四次出现的个数进行分类讨论,并根据§>0(z=1,2,3,4)安排X出现的顺序解:设A为“前四次试验中出现,个X,且58=2,0(/=1,2,3,4).?.心)=*济='[.4向|}]=忐心)=3部以(C时)=((人)=(〃0四),(弗)+(即00),(。:)???P=P(A)“(4)(A)=^=忠三、历年好题精选1、己知A箱装有编号为1,2,3,4,5的五个小球(小球除编号不同之外,其他完全相同),B箱装有编号为2,4的两个小球(小球除编号不同之外,其他完全相同),甲从A箱中任取一个小球,乙从B箱中任取一个小球,用X,P分别表示甲,乙两人取得的小球上的数字.(1)求概率P(X>F);XX>Y(2)设随机变量&='-,,X<Y2、春节期间,某商场决定从3种服装,2种家电,3种日用品中,选出3种商品进行促销活动(1)试求出选出的3种商品中至少有一种是家电的概率(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销,即在该商品现价的基础上将价格提高100元,规定购买该商品的顾客有3次抽奖机会:若中一次奖,则获得数额为〃元的奖金;若中两次奖,则共获得:..数额为3m元的奖金,若中3次奖,则共获得数额为6〃z元的奖金,假设顾客每次抽奖中奖的概率都是—-请问:商场将奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利33、为了搞好某次大型会议的接待工作,组委会在某校招募了12名男志愿者和18名女志愿者,将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm)若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”,身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子切只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”男女91577899(1)求12名男志愿者的中位数98161245898650172345674211801(2)如果用分层抽样的方法从所有“高个子”,“非高个子”中119共抽取5人,再从这5个人中选2人,那么至少有一个是“高个子”的概率是多少?(3)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出X的分布列并求出期望4、如图所示:机器人海宝按照以下程序运行:①从A出发到达点B或C或D,到达点B,C,D之一就停止②每次只向右或向下按路线运行③在每个路口向下的概率为L3④到达P时只向下,到达Q点只向右(1)求海宝从点A经过M到点B的概率和从A经过N到点C的概率(2)记海宝到B,C,D的事件分别记为X=1,X=2,X=3,求随机变量X的分布列及期望5、如图,一个小球从M处投入,通过管道自上而下落至A或8或C,已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的,某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入到小球落到A,B,C,则分别设为一、二、三等奖(1)已知获得一、二、三、等奖的折扣率分别为50%,70%,90%,记随机变:..量g为获得上等奖的折扣率,求随机变量g的分布列及期望(2)若由3人参加促销活动,记随机变量〃为获得一等奖或二等奖的人数,求尸(〃=2)6、,,某场生产的产品当天怕雨,若下雨而不作处理,每天会损失3000元,若对当天产品作防雨处理,可使产品不受损失,费用是每天500元(1)若该厂任其自然不作防雨处理,写出每天损失g的概率分布,并求其平均值(2)若该厂完全按气象预报作防雨处理,以〃表示每天的损失,写出〃的概率分布,计算〃的平均值,并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择7、正四棱柱的底面边长为1,侧棱长为右,从正四棱柱的12条棱中任取两条,设〃为随机变量,当两条棱相交时,记7?=0;当两条棱平行时,〃的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,记〃=3(1)求概率尸(〃=0)(2)求〃的分布