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。求PM+PN的值。ADNMBCPC§【知识点总结】AB1、三角形的内角和定理(1)三角形的内角和定理:三角形的三个内角和等于180°(2)三角形的内角和定理的推论:直角三角形的两个锐角互余。例1图例1:如图所示,是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,这块木板的另一个角是度。例2:若一个三角形的三个内角度数之比为2:3:4,那么这个三角形是三角形。2、三角形的外角及其性质(1)三角形的外角:三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角。-1,把BC延长至D,∠ACD:..的一个外角。说明:三角形的一个内角的邻补角为三角形外角,一个外角有相邻的内角和不相邻的内角,----2图例3:如图所示,已知D、E在△ABC的边上,DE∥BC,∠B=60°,∠AED=40°,则∠A=°(2)三角形的外角的性质:①三角形的外角等于它不相邻的两个内角和,-3.∠ACD=∠1+∠2②三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。-3.∠ACD∠1,∠ACD>∠2③三角形的外交和等于360°。三角形的每个顶点处,有两个外角,任取其中一个,那么三个顶点处有三个外角,这三个角的和叫做三角形的外角和。-3.∠ACD+∠BAE+∠CBF=360°例4:如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是()ADA.∠A>∠1>∠2B.∠2>∠1>∠AC.∠A>∠2>∠1D.∠2>∠A>∠1E13、多边形的内角和与外角和2例4图BC(1)多边形的内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)·180°(2)多边形的外角和定理:任意多边形的外角和都等于360°例5:已知一个多边形的每个内角都等于72°,求这个多边形的内角和。例6:如果一张多边形纸片的内角和是1800°,那么将它减去一个角之后得到的多边形的内角和不可能是()°°°°说明:①n边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关;②多边形一般有两种,凸多边形(-4-甲)和凹多边形(-4-乙);-4图乙n(3)③n边形有n个顶点,n条边,n个内角,2n个外角,有条对角线。2例7:一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B、∠D应分别是20°、30°。李叔叔量得∠BCD=142°,就判定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?DB4、三角形内角和为180°的证明除课本上的两种方法外,还常用下列作平行线转移角的两种方法方法一:-5所示,过BC上任一点D作DE∥AC,DF∥AB。所以∠1=∠C,∠4=∠A,∠3=∠B,∠2=∠4=∠∠1+∠2+∠3=180°,所以∠A+∠B+∠C=180°AA方法二:-6所示,过点C作CD∥AB,请完成接下来的证明过程。--6图例8:已知,如图所示,∠B=10°,∠C=20°,∠BOC=110°,求∠A。AOCB例8图:..5多边形内角和定理,一般是将多边形的所有内角通过作辅助线的方法PP转化成一些三角形的内角来证明。如:P方法一:-7①所示,在n边形内任取一点,并把这点与各定点②③①连接起来,构成n个三角形,这n个三角形的内角和为180n°,-7图去一个周角,即得到多边形的内角和为(n-2)·180°方法二:-7②所示,将n边形的一个定点与各定点连接起来,构成个三角形,所以内角和为。方法三:-7③所示,在n边形一边上任取一点,并把这点与各定点连接起来,构成个三角形,n边形的内角和等于这些三角形的内角和减去所取点处的一个,即=(n-2)·180°6、多边形的对角线从n边形的一个顶点出发,向自身和相邻的两个顶点无法引对角线,向其他(n-3)个顶点共可引n(n-3)条对角线,因而从n个顶点出发,一个可引n(n-3)条对角线,这些对角线每一条都重复一次,故n边形1的对角线条数为n(3。2例9:阅读并解答下面问题:定义:多边形不相邻的两个顶点的连线叫做多边形的对角线。如图②,AC、AD都是五边形ABCDE的对角线(1)请你在图③中画出六边形的对角线并完成下表:AAAFDBEBEBCCDDC①②③例9图多边形的边数456…n过一个顶点的对角线条数124?15?2对角线的总条数?2?522(2)请你利用上面的数学模型解答下列的问题:假,东坡中学安排了全校师生假期进行社会实践活动,将每班分成三个小组,每组派1名教师作为指导。为了加强同学间的写作,学校要求各班每两人之间(包括指导老师)每周至少通一次电话。现知该校八年级六班共有50名学生,那么该班师生间每周至少共要通几次电话?:..7求星形多边形内角和的基本方法,把问题转化为三角形和多边形内角和求解。往往添加辅助线构造适当的基本图形。AF例10:如图所示,试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°D1BE例11:如图(1)所示,有一个五角星形ABCDEF图案,你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗?如果A点下移到BE上如图(2)或BE的另一侧如图(3),上述结论是否仍然成立?请说明理由。AEBEBBAEAEFBDFA(F)FCDCDCCD(1)(2)(3)(4)