文档介绍：该【同济大学高等数学考试题 】是由【1781111****】上传分享，文档一共【16】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【同济大学高等数学考试题 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..高等数学(上)期中考试试卷1(答卷时间为120分钟)(每小题4分)()不是函数f(x)在x0处连续的充分条件.(A)limf(x),limf(x0)(B)limf(x),f(x0)xx0,0xx00xx0(C)f,(x0)存在(D)f(x)()是函数f(x)在x0处有导数的必要且充分条件.(A)f(x)在x0处连续(B)f(x)在x0处可微分f(x0,x)f(x0x)limf,(x)存在(D)存在(C)limx0xx0x1的(),1是函数f(x),sinx(A)可去(B)跳跃(C)无穷(D)(x)在闭区间[a,b]上连续并在开区间(a,b)内可导,如果在(a,b)内).f,(x),0,那么必有((A)在[a,b]上f(x),0[a,b]上f(x)单调增加(B)在(C)在[a,b]上f(x)单调减少(D)在[a,b]上f(x)).f(x),(x23x,2)sinx,则方程f,(x),0在(0,)内根的个数为((A)0个(B)至多1个(C)2个(D)(每题5分):..,ax)ax,bsinx(a,0).(c,0).,(a,0).(每题6分),lntancosxln(tanx,求)y,.(x)是可导的单调函数,满足F,(x),0,F(0),(xy),F(x),F(y)dy确定了隐函数y,y(x),,0d2y,,x,ln1,t2确定的函数,,y(x)是参数方程,dx2,;y,arctantx,0,ln(x,e)(a,0),问a取何值时f,(0)存在,.(x),,xx,0;axe四.(8分)证明:当x,0时有e,x,且仅当x,.(8分)假定足球门宽度为4米,在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带1球前进,问:他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角,46,x六.(10分)设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)(a),f(b)且存在c(a,b)使得f(c),f(a),证明在(a,b)内至少有一点,,,,(,),0:...(10分)已知函数y,f(x)为一指数函数与一幂函数之积,满足:(1)limf(x),0,limf(x),,;x,x(2)y,f(x)在(,,)(x)(上)期中考试试卷2(答卷时间为120分钟)(每小题4分)x,0,,(1sin1xx)在x,0连续,则a,.(x),,x,0,;,0是函数f(x),的间断点.()1ex,1f(x03,)f(x0),.,(x0),1,则lim,02,2).(x),(x3x,2)sinx在(0,)内的驻点的个数为((A)0个(B)至多1个(C)2个(D),0,若limax2,bx,c,dx,e,,(每题6分),11,,.,x0,ln(1,x)x,,cosx,,lntancosxln(tanx,求)y,.22,,x,etcostd2y确定的函数,,y(x)是参数方程,dx2,;y,:..求dx.,1,,xx21三.(8分)证明:当0,x,时有sinx,tanx,(x)有二阶导数,且f(0),0,又满足方程f,(x),f(x),x,证四.(8分)设函数明f(0)是极值,并说出它是极大值还是极小值,mn五.(8分)设a和b是任意两个满足ab,1的正数,试求a,b的最小值(其中常数mn,0)`六.(10分)设函数f(x)在区间[0,1]上可导,且0,f(x),1,证明,(0,1),使得f(,),,;又若f,(x),1(x(0,1)),证明这样的,.(10分)(1)设(an)n,1是单调增加的正数列,在什么条件下,存在极限liman,n1nnnn,a,试用夹逼准则证明,,(2)对上述数列(an)n,1,令xn,a1,a2,nlimxn,(上)期末考试试卷1(答卷时间为120分钟)(每题4分)(x)在[a,b]上有界是f(x)在[a,b]上可积的条件,函数f(x)[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上可积的:..函数y,,=1,,把以下的无穷小:x(A)a,a,10,,a;,1(B)xsinx;(C)1cos4x;(D)ln(1,x),,,按x的低阶至高阶重新排列是.(以字母表示)1,21(n1),,=.,,=,0,,sinn,sinn,(x)在闭区间[0,1]上连续,且f(x)dx,0,则存在x0(0,1),使,0f(x0),f(1x0),:x1令F(x,)f(t)dt,x[0,1],则F(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间,f(t)dt,,01x,故根据微分学中的定理知,(0,1)内,且F(0),,F(1),x0(0,1)使得F,(x0),f(x0),f(1x0),0,(每题6分)(1,x),e2,,y(x)是由方程e,y,sin(xy)确定的隐函数,求y,.x2t2,e,1dt,(1,x6),)dx.,x(sin,xcos2,,x4x21x21三.(8分)设f(x),,etdt,求,f(x)dx10x四(8分)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,且f(x,)1,证明方程2xf(t)dt,,在开区间(0,1)内有且仅有一个根.:..所围成的图形绕直线y,1旋转而成的五.(8分)求由抛物线y,2x与直线x,,其线密度为,,ky,R(k,R)求六.(8分)设半圆形材料的方程为y,.(12分)在一高为4的椭圆底柱形容器内储存某种液体,并将容器水平放置,如果x2,y2,1(单位:m),问:椭圆方程为4(1)液面在y(1,y,1)时,容器内液体的体积V与y的函数关系是什么,y(2),当液面在y,0时,液面Ox下降的速度是每分钟多少m,),抽完全部液体(3)如果液体的比重为1(Nm3需作多少功,高等数学(上)期末考试试卷2(答卷时间为120分钟)(每小题4分)条件;导数f,(x0)(x)存在是函数f(x)在x0处连续的xx0:...——填入适当的字母即可:数f(x)在x0处连续的(B)必要(A)充分(C)充分且必要(D)既不充分也不必要f(2h)f(h),(0),1,则lim,.,(x),x(x1)(2x1)(3x1)(nx1),则f,,(x)在(0,1),[1,xf(sinx)]dx,(x)是[1,1]上连续的偶函数,(1,1,1),(2,2,2)和(1,1,2),(每小题7分)(须有计算步骤)2xln(1,t)dt,,,y(x)是方程e,etdtx1,0确定的隐函数,证明y,y(x)是单调增加y,0函数并求y,x,.,01u22mn三.(10分)设a和b是任意两个满足a,b,1的正数,试求a,b的最大值(其中常数mn,0)`3四.(10分)一酒杯的容器部分是由曲线y,x(0,x,2,单位:cm)绕y轴旋转3而成,若把满杯的饮料吸入杯口上方2cm的嘴中,要做多少功,(饮料的密度为1g/cm)五.(10分)教材中有一例叙述了用定积分换元法可得等式xf(sinx)dx,f(sinx)dx.,02,0:..(2k1)(kZ),则将有怎样的结果,进一步设kTf(x)是周期为T的连续的偶函数,,xf(x)dx将有怎样相应的表达式,0六(10分)设动点M(x,y,z)到xOy面的距离与其到定点(1,1,1)的距离相等,,.若L是,和柱面2z,y的交线在xOy面上的投影曲线,求L上对应于1,x,(t)dt,0.(x)是[0,,)上的连续的单调增加函数,函数f(x),七.(12分)设f01x(1)如何补充定义f1(x)在x,0的值,使得补充定义后的函数(仍记为f1(x))在[0,,)上连续,2)证明(f1(x),f0(x)(x,0)且f1(x)也是[0,,)上的连续的单调增加函数;xxxf1(t)dtf2(t)dtfn1(t)dt,,,000,则对任意的(x),(x),(x),,…,fn(3)若f2,f3xxxx,0,极限limfn(x)(下)期中考试试卷1(答卷时间为120分钟):...填空题(每小题6分):(A)连续;(B)可微分;(C)可偏导;(D)各偏导数连续,它们的关系是怎样的,若用记号“X,Y”表示由X可推得Y,则),(,()(.),,);(22,(x,y),xxy,y在点(1,1)处的梯度为大值是.,(x,y)可微,则柱面F(x,y),0在点(x,y,z)处的法向为,F(x,y,0)在点(x,y)处的切向量为.,z,0;(x,y)连续,则二次积分f(x,y)dy,.,dx,sinx21f(x,y)dx;(A)(B),dy,,dy,0,arcsiny1,arcsinyf(x,y)dx;(C)(D),dy,,dy,0二.(6分)试就方程F(x,y,z),0可确定有连续偏导的函数y,y(z,x),(每小题8分),z(x,y)是由方程f(xz,yz),0所确定的隐函数,其中f(u,v)具有连续的偏导数ffzz且,,0,求,(u,v)有连续的偏导数,且fu(1,0),fv(1,0),,u(x,y)与,x,au,bv22(a,b,0)确定,求复合函数z,f[u(x,y),v(x,y)]的偏导v,v(x,y)由方程组,;y,aubvzz数,.xy(x,y),(a,a)(x,y),(a,a):..已知曲面z,1xy上的点P处的切平面平行于平面2x,2y,z,1,:x为边界的曲边三,,sinyd,,其中D是以直线y,x,y,2和曲线y,(x,y)dx,(xy)dy,L为曲线y,1|1x|沿x从0增大到2的方向.,L五.(10分)球面被一平面分割为两部分,面积小的那部分称为“球冠”;同时,垂直于平面的直径被该平面分割为两段,:球半径为R高为h的球冠的面积与整1个球面面积之比为h:(10分)设线材L的形状为锥面曲线,其方程为:x,tcost,y,tsint,z,t(0,t,2),其线密度,(x,y,z),z,(下)期中考试试卷2(答卷时间为120分钟)(每小题8分),,x2:..tcost;,e,1在点(0,1,1)的某邻域内可否确定导数连续的隐函数z,z(x,y)或y,y(z,x)或x,x(y,z),为什么,,指出解决下列问题的两条不同的解题思路:(1,1).2u二.(8分)设函数f具有二阶连续的偏导数,u,f(xy,x,y).(8分)设变量x,y,z满足方程z,f(x,y)及g(x,y,z),0,其中f与g均具有连续的偏dy导数,,xyz,0,在点(0,,).(8分)求曲线,2Dy2五.(8分)计算积分),,e,其中D是顶点分别为(0,0).(1,1).(0,1):..,(y2)2,,y2,1000上的点.(1)问:z在点M(x,y)处沿什么方向的增长率最大,并求出此增长率;.2)攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点,即在该等量线上找一点M使得上述增(长率最大,.(10分)求密度为,的均匀柱体x,y,1,0,z,1,对位于点M(0,0,2)的单位质处的切平面,与平面x,y,z,0平行.(1)写出曲面,的方程并求出点M的坐标;2,3,,y,3,sin2t在点,z,1,cos3t,2,2,1与平面Ax,By,Cz,D,0没有交点,,f(x,y)具有二阶连续的偏导数,y,x是f的一条等高线,若fy(1,1),1,求11;xy1,0六.(8分)求函数z,x,y在圆(x七.(14分)设一座山的方程为z,10002xy,M(x,y)是山脚z,0即等量线八(14分)设曲面,是双曲线z4y,2(z,0的一支)绕z轴旋转而成,(2)若,是,.,和柱面,,1yx围成的立体,求,的体积.:..高等数学(下)期末考试试卷1(答卷时间为120分钟)(每小题5分,要求:),yx在点(1,1)处沿什么方向有最大的增长率,该增长率为多少,(x,y,z,)(z,1)lny,e1,为什么方程F(x,y,z),0在点M(1,1,0)的某个邻域内可以确定一个可微的二元函数z,z(x,y),,t1,y,t,1,z,t在点P(0,2,1)处的切线方程是什么,:x2,,1(a,0,b,0),积分,,(ax3,by5,c)dxdy是多少,,2n2,1xn,0,,ex,1,0,x,,),(x),,的傅里叶系数为a0,an,bn(n,1,2,3,,;ex1,,x,02,数a0,n1an的和是多少,.(8分)I,sinxdx,dy,yx2y2,1(y,0)取逆时针方2.(8分)I,(x,y)dx,(yx)dy,L为上半椭圆x2,,,y2,,(0,z,2).(12分)设,是由曲线,;x,0(1)写出,的方程和,取外侧(即朝着z轴负方向的一侧)的单位法向量;:..,(8y,1)zdxdy.(2)对(1)中的定向曲面,,求积分I,,,,4(1y222四.(10分)求微分方程(1,x)y,,xy,xy的通解x(0,x,).(10分)把函数f(x,).(10分)求曲面,2,2,1(a,0,b,0,c,0)在第一卦限的切平面,使a2bc该切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为最小,.(12分)设,是由曲面z,lnx2,y2与平面z,0,z,:(1),的体积V;(2),(下)期末考试试卷2(答卷时间为120分钟)(每小题4分),f(x,y)的偏导数在区域D内连续是z,f(x,y)在D内可微的与xy条件.(充分,必要,充要),f(x,y)在点(x0,y0)处沿l,{cos,,cos,}的方向导数可以用公式f,fx(x0,y0)cos,,fy(x0,y0)cos,来计算的充分条件为z,f(x,y)在点l.(连续,偏导数存在,可微分)(x0,y0)处:..若三阶常系数齐次线性微分方程有解y1,,,ex,,x,1,x,(x)在一个周期内的表达式为,1,x,;1级数在x,,2二.(8分)设函数f(u,v)有二阶连续的偏导数,且fu(0,0),1,fv(0,0),,,,求xyy(x,y,)(0,1)22三.(8分)求抛物面z,x,y到平面x,y,z,1,:(每题8分),,其中D为三直线y,,x与x,1所围成的平面区域.,,eD2.,,,xydydz,yzdzdx,zxdxdy,其中,是平面x,0,y,0,z,0及x,y,z,1所围成的四面体的边界面的外侧.,yz,0,从z轴正向看去,,其中,是曲线,222,;x,y,z,1,(1)n11.(8分)设an是等差数列,公差d,0,sn,a1,a2,,:级数snn,1是绝对收敛还是条件收敛或是发散的,说明理由.:..的收敛域与和函数s(x).2.(12分)求幂级数n,.(8分)求微分方程xy,,y,.(12分)设函数f(x)有二阶连续的导数且f(0),0,f,(0),(x)]ydx,[f,(x),y]dy,[xL2L的路径无关,求f(x).与3