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为一个复合poisson过ii1。~e(1)程,此中YitETtdF(t)dxdF(t)dF(t)dx(1F(x))dxP(Tx)dxTTTT0000x00:..N(t)P(Tt)P{YA}ii0N(t)P{YA|N(t)n}P{N(t)n}in0i0neP{YA}P{N(t)n}tin1i11nxn()e{Axndx}et(t)et1(n1)!n!n10(1nxn()ndx]etP(Tt)dt{e[Axt)]dtet1(n1)!n!00n101nxn()etdtAxn1edx[(t)edt]t0(n1)!n!0n101nxnn1()Ant1[xedx((t)1e(t)edt)]1t0(n1)!0(n1)!n!0n11nx()Axn1e11dx(n1)!n101n1x()Ane111xdx10(n1)!n11A1A某商场为检查顾客到来的客源状况,观察了男女顾客来商场的人数。假定14男女顾客来商场的人数分别独立地听从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。(1)试求到某时辰时抵达商场的总人数的散布;(2)在已知时辰以有50人抵达的条件下,试求此中恰有30位妇女的概率,均匀有多少个女性顾客解:设分别为(0,t)时段内抵达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。(1)由已知,为强度的泊松过程,为强度的泊松过程;故,为强度的泊松过程;于是,:..5分)(2)(5分)一般地,故均匀有女性顾客人(4分)(1)对(2)错当N(t)n时,有可能小于t(3)错,TTtnn时,N(t)可能等于n。更新过程的到达间隔听从参数为(n,)的散布。(1)试求N(t)的散布;N(t)lim(2)试证tn。t解:(1)P{N(t)k}P{N(t)k}P{N(t)k1}P{Tt}P{Tt}kk1kk1P{Xt}P{Xt}iii1i1e(s)e(s)tskn1ts(k1)n1dsds(kn1)!((k1)n1)!00(2)由强盛数定律::..kXniEX1建立。Tiki1kkTTt,TN(t)tN(t)1,tT,N(t)N(t)1N(t)N(t)N(t)TTTN(t)nN(t)1N(t)1N(t)1n,。lim,ttN(t)N(t)N(t)1N(t)n,故limN(t)则:。limttttnN(t):t;M(t)E(N(t))exex。F(t)tnxn1nxn1n1tt00(n1)!(n1)!n1n1n1P{X1},P{XP{N(1)k},P{N(2)2}k}P{N(3)k}ii设12,计算,。33解:(1)12P{N(1)0}P{N(1)0}P{N(1)1}P{T1}P{T1}101331P{N(1)1}P{N(1)1}P{N(1)2}P{T1}P{XX1}1123XX23412144P999(2)1P{N(2)2}P{N(2)2}P{N(2)3}P{XX2}P{XXX2}12123918P{N(2)1}P{N(2)1}P{N(2)2}P{T1}P{XX1}111299:..XX+X345612316128P272727273)5114P{N(3)2}P{N(3)2}P{N(3)3}P{XX3}P{T3}12392727P{N(3)1}P{N(3)1}P{N(3)2}P{T3}P{XX3}1541129911P{N(3)3}P{N(3)3}P{N(3)4}P{T3}P{T3}0342727一个过程有n个状态1,2,,nX,最先在状态1,逗留时间为1,走开1抵达2逗留n回到1,循环往复,而且过程对每一个时间为X,再达到3,,最后从2状态逗留时间的长度是互相独立的。试求limP{时辰t系统处于状态i}tE(XX++X)XX++X设且为非格点散布。12n12n解:记过程处于状态i记为开,从状态i+1到n,经过n再回到1,再到i-1这一过程记为关。n则有,。Z=XY=Xkikjjij1设初始状态从1第一次到i需要时间。t0则limP{时辰t系统处于状态i}limP{时辰t系统是开着的}ttEZEXlimP{时辰t-t系统是开着的}ki。0tEZEYE(X...X)kk1n用交织更新过程原理计算t时辰的寿命与节余年纪的极限散布。解:Y(t)Tt为t时辰节余寿命,A(t)tT为t时辰年纪。N(t)1N(t)若假定更新过程是将一个零件投入使用而一旦无效即改换所:..A(t)表示在时辰t零件所使用的年纪,而Y(t)表示它的节余寿命。令X(t)Y(t)A(t),即X(t)表示两次相邻更新的时间间隔,我们要计算P{A(t)x},为此我们将一个开-关的循环对应于一个更新区间,且若在t时辰的年纪小于或等于x,就说系统在时辰t“开着”。换言之,在两次相邻的时间为X(t)的时间内,前x时间内系统“开着”,而其余时间“关着”。那么若X(t)的散布非格点的,由定理获得limP{A(t)x}limP{在时辰开着}E[min(X,x)]/E[X]tt法一:E[min(X,x)]P{min(X,x)y}dy0x[P(Xx)P{min(X,x)y|Xx}P(Xx)P{min(X,x)y|Xx}]dy0[P(Xx)P{min(X,x)y|Xx}P(Xx)P{min(X,x)y|Xx}]dyxx[P(Xx)P{xy|Xx}P(Xx)P{Xy|Xx}]dy0[P(Xx)P{xy|Xx}P(Xx)P{Xy|Xx}]dyxx[P(Xx)P(yXx)]dyP(yXx)dy0xx[P(Xx)P(yXx)]dy0x[P(Xxy)P(yXx)]dy0xP(Xy)dy01xx则:P{min(X,x)y}dy/E[X]P{Xy}dy/E[X]F(y)dy000法二:E[min(X,x)]/E[X]min(X,x)dF(y)/E[X]min(X,x)01xxydF(y)xP{Xx}[xF(x)F(y)dyxxF(x)]0011xxx[dyF(y)dy]F(y)dy0001同理:xlimP{Y(t)x}limP{在时辰t关着}E[min(x,X)]/E[X]F(y)dytt0对t时辰最后一次更新取条件从头给出定理的证明。:..表示时辰t前的最后一次更新。TN(t)令P(t)P{t时辰是系统开着的}对最后一次更新取条件概率有:T时辰是系统开着的|P{tx}N(t)P{Zt|ZYt}x0;111P{Ztx|ZYtx}0<xt0x0H(t);P{Zt|ZYt}111F(t)H(tx);P{Ztx|ZYtx}F(tx)tH(tH(t)x)P(t)P{T0}dF(x)TN(t)N(t)F(t)F(tx)0tH(t)H(tx)dM(x)0H(t)为非负不增函数,且H(t)dtEZ,则由重点更新n01EZ定理获得:nlimP(t)。H(t)dtt0EZEYFnn对延缓更新过程证明更新方程tM(t)G(t)M(ts)dF(s)0解:*(t),F*(t)F(t)*G(t),F(t)1。M(t)Fnnn10n1令*(t),从上边能够推出:MF(t)nn1:..M(t)F*(t)G(t)F(t)*G(t)nn1n1n2G(t)G(t)*F(t)n1n2G(t)G(t)*F(t)nn1G(t)G(t)*M*(t)G(t)G(t)*(F(t)F(t)*M*(t))G(t)G(t)*F(t)G(t)*F(t)*M*(t)G(t)G(t)*F(t)F(t)*(M(t)G(t))G(t)F(t)*M(t)tG(t)M(ts)dF(s)0