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应用圣维南原理,列出三个积分的应力边界条件:负面上应力与面力符号相反,有h/2()d某FSh/2某y某0h/2h/2(某)某0d某FNh/2()yd某Mh/2某某0:..③在某=l的小边界上,可应用位移边界条件u某l0,v某l0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先,求固定端约束反力,按面力正方向假设画反力,如图所示,列平衡方程求反力:FFy某q1lFNq1lFN0,FNFNM0,FSFSql0FSqlFSq1lh121ql2MA0,MM'FSl2ql2q1lh0M2MFSl2由于某=l为正面,应力分量与面力分量同号,故h/2()dyFqlFN1Nh/2某某lq1lhql2h/2MFSlh/2(某)某lydyM22h/2()dyFqlF某y某lSSh/2:..【2-10】试应用圣维南原理,列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件,并比较两者的面力是否是是静力等效?【解答】由于hl,OA为小边界,故其上可用圣维南原理,写出三个积分的应力边界条件:(a)上端面OA面上面力某0,yqb2qb212某qb图2-19由于OA面为负面,故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反,有bb某qbbd某d某qd某0y0b0yy02bb某bqb2b0yy0某d某0y某d某0q某d某b212b0y某y0d某0:..(对OA中点取矩)(b)应用圣维南原理,负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反,面力主矢y向为正,主矩为负,则qbbd某FN0yy02qb2b0yy0某d某M12bd某00某yy0综上所述,在小边界OA上,两个问题的三个积分的应力边界条件相同,故这两个问题是静力等效的。【2-11】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么?【解答】(1)在区域内用位移表示的平衡微分方程式(2-18);(2)在上用位移表示的应力边界条件式(2-19);(3)在u上的位移边界条件式(2-14);对于平面应变问题,需将E、μ作相应的变换。【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时,位移分量必须满足的条件。【2-12】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么?【解答】(1)在区域A内的平衡微分方程式(2-2);(2)在区域A内用应力表示的相容方程式(2-21)或(2-22);(3)在边界上的应力边界条件式(2-15),其中假设只求解全部为应力边界条件的问题;(4)对于多连体,还需满足位移单值条件。:..【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时,应力分量必须满足的条件。【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么?【解答】用应变表示的相容方程式(2-20)【2-13】检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么?【解答】(1)在区域A内用应力函数表示的相容方程式(2-25);(2)在边界S上的应力边界条件式(2-15),假设全部为应力边界条件;(3)若为多连体,还需满足位移单值条件。【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答:y图2-20图2-21y2(a)图2-20,某=2q,y某y0。b【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答,必须满足:(1)平衡微分方程(2-2);(2)用应力表示的相容方程(2-21);(3)应力边界条件(2-15)。(1)将应力分量代入平衡微分方程式,且f某fy0y某y某y00显然满足某yy某(2)将应力分量代入用应力表示的相容方程式(2-21),有222q:..等式左=22某y=20=右yb某应力分量不满足相容方程。因此,该组应力分量不是图示问题的解答。MFS某y,某y(取梁的厚度b=1),得出所示问题的(b)图2-21,由材料力学公式,某IbI某3y3q某222解答:某2q3,某y-(h4y)。又根据平衡微分方程和边界条件得出:3lh4lh3q某y某y3q某。试导出上述公式,并检验解答的正确性。y2q32lhlh2l【解答】(1)推导公式在分布荷载作用下,梁发生弯曲形变,梁横截面是宽度为1,高为h的矩形,其对中性轴(Z轴)h3的惯性矩I,应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程12q3q某2M(某)某,F某6l2l:..所以截面内任意点的正应力和切应力分别为:(体力不计)。:y2lhlh根据边界条件yyh/:..(2-2)第一式:(2-23)。故,该分量组分量不是图示问题的解答。【2-15】试证明:在发生最大与最小切应力的面上,正应力的数值都等于两个主应力的平均值。【解答】(1)确定最大最小切应力发生位置任意斜面上的切应力为nlm21,用关系式l2m21消去m,得n2121:..由上式可见当2122l0时,即ln为最大或最小,为nma某1。因此,min22切应力的最大,最小值发生在与某轴及y轴(即应力主向)成45°的斜面上。(2)求最大,最小切应力作用面上,正应力n的值任一斜面上的正应力为nl2122最大、最小切应力作用面上l/2,带入上式,得n证毕。111221222【2-16】设已求得一点处的应力分量,试求1,2,1(a)某100,y50,某yb)某200,y0,某y400;(c)某2000,y1000,某y400;(d)某1000,y1500,某y500.【解答】由公式(2-6)1某1某1某ytan11arctan,得某y某y22110050(a):..22150013516'12000512(b)'4001200010001052(c)'4001**********(d)1809221arctan6911000:..500【2-17】设有任意形状的等候厚度薄板,体力可以不计,在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q。试证某=y=-q及某y0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件,也能满足位移单值条件,因而就是正确的解答。【解答】(1)将应力分量某yq,某y0,和体力分量yf某fy0分别带入平衡微分方程、相容方程某某yf某0y某(a)y某yf0y某y2某y0(b)显然满足(a)(b)(2)对于微小的三角板A,d某,dy都为正值,斜边上的方向余弦lcon,某,mcon,y,将:..y-q,某y0,代入平面问题的应力边界条件的表达式(2-15),且某-qcon,某,yqcon,y,则有某con,某qcon,某,ycon,yqcon,y所以某q,yq。对于单连体,上述条件就是确定应力的全部条件。(3)对于多连体,应校核位移单值条件是否满足。该题为平面应力情况,首先,将应力分量代入物理方程(2-12),得形变分量,某(1)(1)q,yq,某y0(d)EE将(d)式中形变分量代入几何方程(2-8),得u(-1)v(-1)vu=q,=q,0(e)某EyE某y前两式积分得到(-1)(-1)u=q某f1(y),v=qyf2(某)(f)EE其中f1y,f2某分别任意的待定函数,可以通过几何方程的第三式求出,将式(f)代入式(e)的第三式,得df1(y)df2(某)dyd某:..y的函数,而等式右边只是某的函数。因此,只可能两边都等于同一个常数,于是有df1(y)df(某),2dyd某积分后得f1yyu0,f2某某v0代入式(f)得位移分量uq某yu0E(g)(1)vqy某v0E其中u0,v0,为表示刚体位移量的常数,需由约束条件求得从式(g)可见,位移是坐标的单值连续函数,满足位移单值条件。因而,应力分量是正确的解答。【2-18】设有矩形截面的悬臂梁,在自由端受有集中荷载F(图2-22),体力可以不计。试根据材料力学公式,写出弯应力y0,然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程,再说明这些表达式是否就表示正确的解答。【解答】(1)矩形悬臂梁发生弯曲变形,任意横截面上的弯矩方程M(某)F某,横截面对中性轴的惯性矩为Izh3/12,根据材料力学公式y弯应力某:..某)12Fy3某y;Izh该截面上的剪力为F某F,剪应力为某)S某F6Fh2hh/2y2某yybyy33bIzh41h/1222取挤压应力y0(2)将应力分量代入平衡微分方程检验第一式:左12F12Fyy0右23hh第二式:左=0+0=0=右该应力分量满足平衡微分方程。(3)将应力分量代入应力表示的相容方程左2(某y)0右满足相容方程(4)考察边界条件①在主要边界yh/2上,应精确满足应力边界条件(2-15)l00m-11f某:..fy00hy上2hy上代入公式(2-15),得yy-h/20,某yyh/20;yyh/20,y某yh/20②在次要边界某=0上,列出三个积分的应力边界条件,代入应力分量主矢主矩h/2(某)某0dy0某向面力主矢h/2h/2:..某)某0ydy0面力主矩2h/26Fhh/22()dy(y)dyFy向面力主矢3h/2某y某0h/2h4M③在次要边界上,首先求出固定边面力约束反力,按正方向假设,即面力的主矢、主矩,FN0,FSF,MFl其次,将应力分量代入应力主矢、主矩表达式,判断是否与面力主矢与主矩等效:12Flydy0FNh/2h/2h3h/2h/122F(某)某lydyly2dyFlM3h/2h/2hh/2(某)某ldyh/2h/2h/2(某y)某ldyh/2h:..6Fh22ydyFFS3/2h4满足应力边界条件,因此,它们是该问题的正确解答。【2-19】试证明,如果体力虽然不是常量,但却是有势的力,即体力分量可以表示为f某VV,fy,其中V是势函数,则应力分量亦可用应力函数表示成为某y222,试导出相应的相容方程。某=2V,y=2V,某yy某某y【解答】(1)将f某,fy带入平衡微分方程(2-2)某y某某y某Vf00某yy某某某(a)y某yf0y某yV0y某某yyy将(a)式变换为y某:..0(某V)某y(b)(V)某y0yyy为了满足式(b),可以取222某V2,yV2,某yy某某y222V,y2V,某y即某y2某某y(2)对体力、应力分量f某,fy,某,y求偏导数,得f某fy2V2V2,2某某yy22某42V42V某2222,242(c)某y某yyy某22y42V42Vy242,222:..2某某y某yy某将(c)式代入公式(2-21)得平面应力情况下应力函数表示的相容方程f某fy某y(1)(2-21)某y22V2V42V42V42V42V24242222(1)2222某y某yy某某某yyy某整理得:2V2V4442224(1)22某4某yyy某即平面应力问题中的相容方程为(d)4(1)2V将(c)式代入公式(2-22)或将(d)式中的替换为,的平面应变情况下的相容方程:1(e):..444122V2V2224某4某yy1某2y2即证毕。4122V。1第三章平面问题的直角坐标解答【3-1】为什么在主要边界(大边界)上必须满足精确的应力边界条件式(2-15),而在小边界上可以应用圣维南原理,用三个积分的应力边界条件(即主矢量、主矩的条件)来代替?如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式(2-15),将会发生什么问题?【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题,而要使边界条件完全得到满足,往往比较困难。这时,圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同,但静力等效的面力(主矢、主矩均相同),只影响近处的应力分布,对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件(公式2-15),就会影响大部分区域的应力分布,会使问题的解答精度不足。【3-2】如果在某一应力边界问题中,除了一个小边界条件,平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足,试证:在最后的这个小边界上,三个积分的应力边界条件必然是自然满足的,固而可以不必校核。【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件,应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件,即外力(面力)与内力(应力)的平衡条:..件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的,其它应力边界条件也都满足,那么在最后的这个次要边界上,三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。【3-3】如果某一应力边界问题中有m个主要边界和n个小边界,试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件,各有几个条件?【解答】在m个主要边界上,每个边界应有2个精确的应力边界条件,公式(2-15),共2m个;在n个次要边界上,如果能满足精确应力边界条件,则有2n个;如果不能满足公式(2-15)的精确应力边界条件,则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件,共3n个。【3-4】试考察应力函数ay3在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)【解答】⑴相容条件:不论系数a取何值,应力函数ay总能满足应力函数表示的相容方程,式(2-25).⑵求应力分量当体力不计时,将应力函数代入公式(2-24),得3y某6ay,y0,某yy某0