文档介绍：该【变量的极限 】是由【青山代下】上传分享，文档一共【28】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【变量的极限 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y)mdt)ckckyckyb=》=e1=ey—::■'e0=1,所以(1)可以合并到(2),:..k)cxb=eck.(不论k=0或k=0)X-xlimTlimy()*例23卫令」今XXlog(1y)axy)(1y)yaxxx1例24计算lim(ab-)^,a0,b0,(a+bxxxaxbxcx3x+c迥d-1)]^^111(InaTnbTnInln(abc)33=Xc)(abc)二e二3=e3elim(沁严例25计算sinax—sinasinx-sina亠-原sinx-1x-asina...(:心)lim[1]式>sinaxasinasinx-sinasinx因为lim(sina~)-—asincos—XTx-a2cossin2—二cosa所以,由=lim=lim22x-ax=ax-ax)acosa知:原式二sincota(…),工(a=kk=0,1,'、二321-3cosX--1?2sinsinX)2Xr0sinxlim()x■-0cosx-11-Xim(sin2xJcosx+°sinx+勺1+^cosxcos2x1-+_____________cosx=啊[(sin2x)(.cos1x21十cosx十务cos2X:..(ix)」1e1e^nflX)X)1JIn(1In(1x)x)X?-(響)[=o.(Hospitalrule洛必达法则)LXTx2x2十12=-:2sinx1sin1cos-11:;sinx1cosxsincos~1((x_[(1.)」]1in2xcos(1sinx)sine_[()]sinx丿1sinx无穷小量与无穷大量两个定义定义1如果lim〉(x)=0,则称变量:(x)当x>x时,是一个无穷oX^Xo小量。类似,如果li^(x)=0,a(x)也称为一个无穷小量。同样,若limf(n)=0,贝卩f(n)也称为一个无穷小量。n—为简化,今后对极限过程X>x常常可以理解为也包含X>0的情况。例1limX2=0,.?.当X>0时,厂X2是一个无穷小量。x—0:例2=lim1当於时,y=」是一个无穷小量。XTxYxX例3limsinx=0,当x-0时,y=sinx是一个无穷小量。xT例4lim^=0当n…:时,y号是一个无穷小量。r定义2如果当X-;X时,变量y二f(x)的绝对值无限增大,则0称f(x)当x-X。时为无穷大量,记为limf(x)二;:(也包含二;,X—iK0:..或--。(;定义2中的f(x)的绝对值无限增大,.f(x)没有固定的常数A作为它的变化趋势,故f(x)没有极限,或说limf(x)不存在)。,是一个无穷大量。显然xTx—2x—2下列关系成立:如果f(x)=0,而limf(x)=0,贝Slim1;Xf^xf()oxA如果limf(x)二::,则lim-0.^^xf(x)0是无穷大量,』m_e-■::),而e?二例如,当x—」-■时,ex(:A是无穷小量(即lim_4r—讼ex=0)。又如,当x>0时,而4是无穷大量(即lim1二::)。xxqxx3是无穷小量,(数列)(x)二f(x)=A亠:,其中lim:==XfXf证必要性(=)Timf(x)二A,.-;?0,0,使得当0:::|x-x1<-0X—时,恒有|f(x)-A|:::;.此表明函数(f(x)-A)是一个无穷小量(=lim(f(x)-A)=0),记为:(x),即卩f(x)-A=:(x),因此f(x)=A:(x),其中〉(x)为无穷:..小量。充分性(=)设f(X):?,其中A是常数,(x)是无穷小量,即liAm(x)=0,由极限定义:*>0,M>0,使当X—^00<|x-X时,有,即|f(x)-A|<—此表明limf(x)=|￡6X—^x0注对X」:的情形以及对数列的情形,同样可证。即有”m::yn=A=yn=A::..lim:=(x)二A=f(x)二A匕(x),其中lim:(x)=,x,x—,三?无穷小量的性质11例6limx2sin0(|sin|_1)xx*例7求limdx'x—1+x++sinx解分子分母同除以x,原式化为1x1?、2--4-一2lixx-1x1limXXX、x2sinxx_]sinx+2~。>x时,u(x)为无穷小量,v(x)的极限为A,且,不妨设oA>0,由于limv(x)=A0所以,对于三,存在一。,,oxx0IAA3A益使得当0<x—X<6,时有v(x)—A<^,即0<_2<v(x)￡-p。d212亦即亦气&——在时是有界变量,再0￡x-v(x)。如果lim0,则称1是较:?高阶无穷小,记作1=0(〉).a:..如果lim二乂(c=0),则称[与〉是同阶无穷小。特别是,CL如果lim—1则称[与:?是等阶无穷小,记作:■~■.a如果佃上=旳(即|计當=0),则称B是比a较低阶无穷小量。例2=0,X2二(x).如,守四匚=四乂2又lim笃与2x是同阶无穷小量。x22xT2x2例12求lim2n一n*3解先将分子分母同除以n2,得2—2$2n_n3=|im冷32dlim(2)皿丄23n3n21332x32x2-1limxL13求3x41先将分子分母同除以4x,得4*214x32x2_1x7lim3x4+113+-rxim(xpm00-0x=|呼+斗)「xx2x3114求lim2Y8x+7x2丄解先将分子分母同除以3,得3lim0-::匚x§7x7从上面的例题可以得出以下结论::..aon=mbnn_1oaxgx一a其中0n:::m).lim'2以后做题时可直接利用上述结论,如lim丝笃=-2.^^2+4x—xF面的例题是利用“消去零因式”,或先“分子有理化”以后0再“消去零因式”的方法,求”型的极限。3例15求lim(」).0x31x>Jx1解因为当x》一1时,原式1Qf(x)—)出现“匚―,”型,两项均不存在极限,故不=(-X+1X+1能直接使用极限运算法则。需先通分母:小22x_x_2原式二lim(x_x⑴-3=lim厂x>J(x1)(x-x1)jf(消去零因式(x1))x=lim4^7x-x13Xx-2(若将代入,出现无意义分式“0”)例16求nX4mx2-5x4原式二匸Jlim(X-4)(x-x—Ax_2(消去零因式)—limw(X-2)(-x2)(x-1)X=lim-----1(在的过程中,x>4x4(-x'2)(x-1)小-2=0,故可以同除,从而可以消去):..1_1(22)(4-1)~122x43x3例173x3x(2x3)解原式=lim(消去零因子x3)=lim(2x3)-—x例19求极限lim一.(“0”型)Tx0解原式jim(1x-J-xIxJ-x)xTX(￡1+X+P1-X)(因有无理式的零因子,所以先分子有理化)1X-(1-X)lix(-X)m叫X…(消去零因子)=lim(用极限运算法则)-X)2当xv0例20已知f(x)=x23x-1,(x).f/Vx??解因为x=0是分段点(x=0的左、右两边的函数不同)。在求limf(x)时,须考虑x=0的左极限和右极限X—limf(x)二lim(x-1)=-1x—0…x)0…』m(x23x-1)x2+3x_1(x1rmf)Pmlim(x3i):..limf(x)二limf(x)=(x)二-—x_0?^_0x3x_1limf(x)lim=°.3limf(x)lim(x-1)-》::3-::?:当x>0时,sinsinx~ln(1+x).证Tlimsinsinx=0;limln(1x)=???当Xr0时,sinsinx与ln(1x)=lim—衅x0ln(1x)也ln(1+x)X—01ln(1+x)(1x)xx_0当Xr0时,sinsinx~ln(1+x).在结束本章之前,我们再介绍一些关于等价无穷小量的性质,利用这些性质,可以简化求极限的过程。性质1设当X>X时,:(x)~:(x),1(x)~「(x)且lim凶^^00Ct(x)存在,则lim丄“m3.^^O((x)^^Ct(x)00这是因为:(x)1(X):(X)limlim(x):(x):(x):(x)XfXF..P(x)Pa(x)=-(x)(x)X蚁、:(x)00P(x)P=1Tim1=lim..:..(x)用(X)X^XgXrX)(即分子,分母可同时用等价无穷小代替):..性质2设当X—?X时,:-(X)~:「(x),且已知olim:(x):(x)二A,贝卩lim:(x):(x)-ixxox_0这是因为v(x)lim_::(x):(x)=lim(x)I-(x)()^xox/oX=limlim:(x)l「(x)=1lim:(x):(x)=lim:(x)XX):.(x)l:(x).x^xojXojx°(即乘积中的无穷小量因子可以用等价无穷小代替)。例3求四壬奢(型’极限运算法则不能用)解(-cosxlim2m3=m-liix—0x0小“X、x0X2(;)22222彳1-COSX~2_X222■--COSXsinnmsin—X1-cosx1-cosx-_____2_2X2=21=2(ax)-,先回忆两个结论:(1)当X—;0,时ln(1x)~2X..当时,=11=1oX-;(2)limx匚^^_1=lne=:当xr0时,x2x—xx^^03当o时,1-cosX~—2X—:..:..Ae-[(1-)-1]xxxxxx(ax)ln(1)xxlia—lim_____a=lim[e-2mXr02xx1]x>02xXr0axln(1-)ey-1~yxxln(1lim[ea^li_________a_■-)-y-xln(1x)xax0am2>1]x^(1-)=lim—=limx「0x)0xaa-当时,常用等价无穷小有x-?0asinx~x,tanx~x,sinax?(a7)ln(1x)~x,ex_1?x,axtanax?axax-1?xln(1x/一1?(」-0)a,4121-cosx—x21tanx-—xe—()!叫tanxsinx2arcsinx~sinxtanx-sinx/、吏z3^二e(e-1)xlim2()sinx/=e(tanx-sin=(1厶limx)x](4”(需_n:tfa)=齐厂市0,(a)n2limn2一1)n”n—lnalna=limn2T)Tm:『(n1)n—■严Jn作业:,2班29(2),31,34(1),35,36.:..班29(3),32,34(3),35,(4),32,34(4),35,36.