文档介绍：该【2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析 】是由【小屁孩】上传分享，文档一共【20】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析 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行六面体ABCD?ABCD中,底面是边长为1的正方形,若?AAB??AAD?60?,111111AA?3,:..【答案】5【解析】【详解】试题分析:因为,???????????????????????????????????????????AC2?AA2?AB2?AD2?2AA?AB?2AA?AD?2AB?AD所以,1111即,,AB?1,BC?3,沿对角线AC将?ABC折起,若二面角B?AC?D的大小为120?,则B,【答案】2【解析】1B,DBE?AC,DF?AC,AE?CF?,EF?1,【分析】过分别作由题意可求得2????????????????3????????????????由二面角B?AC?D的大小为?,得到EB·FD?EBFDcos120???,再利用BD?BE?EF?FD可1208求得结果.【详解】过B,D分别作BE?AC,DF?AC,?AB?1,BC?3,?AC?2,:..111?AB·BC?AC·BE?AC·DF,2223?BE?DF?,21则AE?CF?,EF?1,2????????????????3?二面角B?AC?D的大小为?,?EB·FD?EBFDcos120???,1208?????????????????BD?BE?EF?FD,?????????????????????????????????????????????????????BD2?(BE?EF?FD)2?BE2?EF2?FD2?2BE·EF?2EF·FD?2BE·FD33313??1???,4444????1313则BD?,即B,:.(LeonhardEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的?ABCA??4,0?B?0,4?外心、重心、垂心在同一条直线上,,,其欧拉线方程为x?y?2?0,则顶点C的坐标可以是_________?2,0??0,?2?【答案】或【解析】C(x,y)M(0,2)x,y【分析】设,依题意可确定?ABC的外心为,可得出一个关系式,求出?ABC重心坐x,y标,代入欧拉直线方程,又可得出另一个关系式,解方程组,??x【详解】设C(x,y),AB的垂直平分线为,?ABC的外心为欧拉线方程为x?y?2?0y??x与直线的交点为M(?1,1),∴|MC|?|MA|?10,?(x?1)2?(y?1)2?10①x?4y?4A??4,0?B?0,4??ABC(,)由,,重心为,33代入欧拉线方程x?y?2?0,得x?y?2?0②由①②可得x?2,y?0或x?0,y??2.:..?2,0??0,?2?故答案为:或.【点睛】本题以数学文化为背景,考查圆的性质和三角形的外心与重心,考查逻辑思维能力和计算能力,、解答题:本题共6小题,、证明过程或演算步骤.???a??2,4,?2?????,b??1,0,2,c?x,2,?1.???(1)若a//c,求c;????(2)若b?c,求cosa,【答案】(1)6;(2).6【解析】【分析】(1)利用空间向量共线定理,列式求解x的值,由向量模的坐标运算求解即可;?c???2,2,?1?(2)利用向量垂直的坐标表示,求出x的值,从而得到,由空间向量的夹角公式求解即可.???a??2,4,?2?b???1,0,2?c??x,2,?1?【详解】解:(1)空间向量,,,????因为a//c,所以存在实数k,使得c?ka,?x?2k?2?4kx?1所以?,解得,?12k?????c?12?22???1?2?6则.????(2)因为b?c,则b?c??x?0?2?0,解得x??2,?c???2,2,?1?所以,????a?c?2?2?2?4???1????2?6cosa,c??????16?4?4?4?16?A?5,1?2x?y?5?,AB边上的中线CM所在直线方程为,AC的边上的高BH所在直线方程为x?2y?5=0.(1)求顶点C的坐标;(2)?4,3?【答案】(1):..(2)6x?5y?9?0【解析】C?m,n?【分析】(1)设,利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解;B?a,b?(2)设,利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解;【小问1详解】C?m,n?解:设,∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x?y?5?0,AC边上的高BH所在直线方程为x?2y?5?0.?2m?n?5?0??m?4∴?n?11,解得?.???1n?3???m?52C?4,3?∴.【小问2详解】?a?2b?5?0?B?a,b?a51b设,则???,2???5?0??22?a??1解得?.b??3?B??1,?3?∴.3?36∴k??.BC4?156y?3??x?4?,即为6x?5y?9?0.∴(?1,1)为圆心的圆与直线m:3x?4y?4?0相切.(1)求圆C的方程;(2)过点P(?2,3)的作圆C的切线,求切线方程.【答案】(1)(x?1)2?(y?1)2?1;(2)3x?4y?6?0和x??2.【解析】:..【分析】(1)由点到直线距离公式得圆半径后可得圆方程;(2)分类讨论,检验斜率不存在的直线是否为切线,斜率存在时设出切线方程,由圆心到切线的距离等于半径得结论.【小问1详解】?3?4?4由题意,圆半径不r??1,32?42所以圆方程为(x?1)2?(y?1)2?1;【小问2详解】易知过P点斜率不存在的直线x??2是圆的切线,再设斜率存在的切线方程为y?3?k(x?2),即kx?y?2k?3?0,?k?1?2k?3336?1k??,直线方程为?x?y??3?0,即3x?4y?6?0.,解得k21444?所以切线方程是3x?4y?6?0和x??,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为正方形,PA?底面ABCD,AB?AP,E为棱PD的中点.(1)证明:AE?CD;(2)求直线AE与平面PBD所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析6(2)3【解析】【分析】(1)根据线面垂直的性质与判定,证明CD?平面PAD即可;(2)以A为坐标原点建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面夹角即可.【小问1详解】:..因为PA?底面ABCD,CD?平面ABCD,故PA?,故AD??AD?A,PA,AD?平面PAD,故CD??平面PAD,故AE?CD.【小问2详解】xyz以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为,,?0,0,0?B?2,0,0?D?0,2,0?P?0,0,2?E?0,1,1?设AB?AP?2,则,,,,.????????????AE??0,1,1?,BP???2,0,2?,DP??0,?2,2?.???????n?BP?0??2x?2z?0?n??x,y,z?????x?1n??1,1,1?.设平面PBD的法向量,则??,即?,设则n?DP?0?2y?2z?0??uuurrAE?n26?sin??uuurr??设直线AE与平面PBD所成角为,?33?,在直四棱柱ABCD?ABCD中,底面ABCD为菱形,DD?3,AD?2,?BCD?,E111113BB上一点,BE?1,过A,E,C?;(1)求点D到平面1(2)求平面AEC与平面BEC夹角的余弦值.:..30【答案】(1)56(2)4【解析】?????????????AG??AE??ACG?0,0,2?【分析】(1)如图所示建立空间直角坐标系,确定各点坐标,根据得到,确1BCG的法向量,(2)确定平面AEC与平面BEC的法向量,再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】π如图所示:取F为AB中点,ABCD为菱形,?BCD?,3π则DF2?22?12?2?2?1?cos?3,故DF?3,3DA2?DF2?AF2,DF?AB,DDx,y,z以DF,DC,为轴建立空间直角坐标系,1??????A3,?1,0B3,1,0C?0,2,0?E3,1,1C?0,2,3?则,,,,,1?????????????G?0,0,a?AG??AE??AC设,则,1????????????????3,1,a?0,2,1??3,3,3??3,3?2,3?,即??3???3???1??1?3??2????1G?0,0,2?故?,解得?,故,?a3?a2???????:..????????n?BC??3x?y?3z?0???BCG的法向量为n?x,y,z????1设平面,则??,1nBG3xy2z0????????????53?y??1n?,?1,2取,得到??,?3??????53??????3,1,0?,?1,2??DB?n330BCG的距离为??点D到平面???.1n23053【小问2详解】?????????n?AE?2y?z?0?n?x,y,z??????1?11,设平面AEC的法向量为,则?1111nAC3x3y0?????????111????y?1,得到n?3,1,?2取;11???????????n?BE?z?0??x,y,z????????22,设平面的法向量为,则?2222nBC3xy0?????????222?????x?1,得到n?1,3,0取;22??????????n?n236cosn,n12平面AEC与平面BEC夹角为锐角,余弦值为????????.12nn2224??,圆C的圆心在直线x+y-3=0上,圆C经过点A(0,4),且与直线3x-4y+16=0相切.(1)求圆C的方程;(2)设直线l交圆C于P,Q两点,若直线AP,AQ的斜率之积为2,求证:直线l过一个定点,并求出该定点坐标.【答案】(1)(x-3)2+y2=25;(2)证明见解析,定点为(?6,?12).【解析】【分析】()由圆心在直线上,可设圆心坐标,-,由圆心到切线的距离等于半径列方程解得a后1C(a3a)可得圆方程;P?xy?Q?x,?y?(2)分类讨论,直线l斜率不存在时,设,,,x≠0,由已知求出x但此直线与圆无000000,交点,不合题意;=kx+t(t≠4),P?x,kx?t?,Q?x,kx?t?,把已知1122k?k?2用坐标表示出来,记为①式,由直线与圆相交,直线方程与圆方程联立,消元后应用韦达定理APAQ:..得x?x,xx,代入①式,得出k,t的关系式,【详解】(1)因为圆心C在直线x+y-3=0上,所以设C(a,3-a),因为圆C经过点A(0,4),所以圆C的半径r=AC=a2?(a?1)2,|3a?4(3?a)?16|因为圆C和直线3x-4y+16=0相切,所以圆C的半径r=,32?(?4)2|3a?4(3?a)?16|所以a2?(a?1)2=.32?(?4)2化简,得a2-6a+9=0,解得a=(3,0),半径r=(x-3)2+y2=?xy?Q?x,?y?(2)若直线l的斜率不存在,则可设,,,x≠0,00000y?4?y?416?y2所以(x-3)2+y2=25,k?k?0?0?0?2,00APAQxxx2000消去y得x=-6,再代入(x-3)2+y2=25,y不存在,=kx+t(t≠4),P?x,kx?t?,Q?x,kx?t?,1122kx?t?4kx?t?4所以k?k?1?2?2,APAQxx12?k2?2?xx?k?t?4??x?x???t?4?2?0①整理得,1212?y?kx?t,?直线方程与圆C方程联立,??x3?2y225,??????k2?1?x2??2kt?6?x?t2?16?0,消去y得2kt?6t2?16所以x?x??,xx?代入①12k2?112k2?1?k2?2??t2?16??k?t?4??2kt?6???t?4?2?k2?1??0,得由于t≠4,整理得6k?t?12?0,即t?6k?12,所以直线l的方程为y?kx?6k?12,即y?k?x?6??12,?x?6?0,?x??6,令?解得?y??12,y??12,??:..所以直线l过一个定点,该定点坐标为(?6,?12).