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答案】(1)y?x(2)图见解析部分(3)证明见解析【解析】12:..【分析】(1)把点A的坐标代入反比例函数解析式,即可得出答案;(2)利用基本作图作线段AC的垂直平分线即可;(3)根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到?BAC??DCA,然后利用平行线的判定即可得证.【小问1详解】k??解:∵反比例函数y??x?0?的图像经过点A2,4,xk∴当x?2时,?4,2∴k=8,8∴反比例函数的表达式为:y?;x【小问2详解】如图,直线EF即为所作;【小问3详解】证明:如图,∵直线EF是线段AC的垂直平分线,∴AD?CD,∴?DAC??DCA,∵AC平分?OAB,∴?DAC??BAC,∴?BAC??DCA,∴CD∥:..【点睛】本题考查了作图—基本作图,用待定系数法求反比例函数的解析式,垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,平行线的判定,(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).《清明上河图》建造的,,如图,在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°,沿AC方向前进15m到达B处,又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.,测量点A,B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上,求拂云阁DC的高度(:sin34??,cos34??,tan34??).【答案】拂云阁DC的高度约为32m【解析】【分析】延长EF交CD于点G,则四边形AEFB,AEGC是矩形,则CG?AE?,EF?AB?15,在Rt△DGF,Rt△DGE中,分别表示出FG,EG,根据EG?FG?15,建立方程,解方程求解可得DG,根据DC?DG?GC即可求解.【详解】如图,延长EF交CD于点G,则四边形AEFB,AEGC是矩形,14:..则CG?AE?,EF?AB?15,DGDG在Rt△DGF中,FG???DG,tan?DFGtan45?DGDGDG在Rt△DGE中,EG???,tan?DEGtan34?∵EG?FG?15,DGDG即??15,?,?DC?DG?GC???32(m).?拂云阁DC的高度约为32m.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,,教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版),,开辟了一处耕种园,,市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍,用3004元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.(2),B两种菜苗共100捆,,对A,.【答案】(1)20元(2)2250元【解析】【分析】(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元,根据题意列出方程,解出方程即可;m?100?m?(2)设:购买A种菜苗捆,则购买B种菜苗捆,花费为y元,根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数,解出m的取值范围,列出花费y与A种菜苗m捆之间的关系式,根据关系式求出最少花费多少钱即可.【小问1详解】15:..解:设:菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元,300300??3x5x4515300??300?x4415x?754解得x=2055检验:将x=20代入x??20?25,值不为零,44∴x=20是原方程的解,∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元.【小问2详解】m?100?m?解:设:购买A种菜苗捆,则购买B种菜苗捆,花费为y元,有题意可知:m?100?m,解得m≤50,y??20m?30??100?m???∵??,y??9m?2700?m?50?∴,∵y随m的增大而减小∴当m?50时,花费最少,此时y??9?50?2700?2250∴本次购买最少花费2250元.【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值,,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:,水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高,;建立如图所示y?a?x?h?2?k,其中x(m)是水柱距喷水的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为头的水平距离,y(m):..(1)求抛物线的表达式.(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3m,,当她的头顶恰好接触到水柱时,???x?5?2?【答案】(1)(2)2或6m【解析】??y?a?x?5?2??0,?【分析】(1)根据顶点5,,设抛物线的表达式为,将点,代入即可求解;y??3,0?(2)将代入(1)的解析式,求得的值,进而求与点的距离即可求解.【小问1详解】解:根据题意可知抛物线的顶点为?5,?,y?a?x?5?2?,?0,??25a?,得,解得a??,?y???x?5?2?,【小问2详解】y???x?5?2?,令y?,???x?5?2?,得x?1,x?9,解得12∵爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3m,?当她的头顶恰好接触到水柱时,她与爸爸的水平距离为3?1?2(m),或9?3?6(m).【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,,某校将传统游戏“滚铁环”:..,如图,滚铁环时,铁环⊙O与水平地面相切于点C,推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD,点O,A,B,C,⊙O相切于点B时,手上的力量通过切点B传递到铁环上,会有较好的启动效果.(1)求证:∠BOC+∠BAD=90°.(2)实践中发现,切点B只有在铁环上一定区域内时,?BAD?.已知铁环是该区域内最低位置,此时点A距地面的距离AD最小,测得5⊙O的半经为25cm,推杆AB的长为75cm,求此时AD的长.【答案】(1)见解析(2)50cm【解析】【分析】(1)根据切线的性质可得OC?CD,AB?OB,根据AD?CD,可得AD∥OC,过点B作BE∥AD,根据平行线的性质可得?BAD??EBA,?COB??OBE,进而即可得证;(2)过点B作CD的平行线,交AD于点G,交OC于点F,由(1)得到?OBF??A,在Rt△ABG,Rt△OBF中,求得AG,BF,进而求得OF,FC,根据AD?AG?GD即可求解.【小问1详解】证明:∵⊙O与水平地面相切于点C,?OC?CD,∵AD?CD,?AD∥OC,∵AB与⊙O相切于点B,?AB?OB,??OBA?90?,过点B作BE∥AD,18:..??BAD??EBA,?BE∥OC,??COB??OBE,??COB??BAD??OBE??ABE??OBA?90?,即∠BOC+∠BAD=90°.【小问2详解】如图,过点B作CD的平行线,交AD于点G,交OC于点F,?FG?AD,FG?OC,则四边形CFGD是矩形,∵?BOC??BAD?90?,?ABO?90?,??OBF?90???FOB??A,3Rt△ABG∵cos?BAD?,AB?75cm,在中,53?AG?AB?cos?BAD?75??45(cm),53在Rt△OBF中,cos?OBF?cosA?,OB?25cm,533BF?OB??25??15(cm),55?OF?OB2?BF2?252?152?20(cm),?FC?OC?OF?25?20?5(cm),?DG?FC?5cm,?AD?AG?GD?45?5?50(cm).19:..【点睛】本题考查了切线的性质,平行线的性质,解直角三角形的应用,,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.(1)操作判断操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,,当点M在EF上时,写出图1中一个30°的角:______.(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.①如图2,当点M在EF上时,∠MBQ=______°,∠CBQ=______°;②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图3,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.(3)拓展应用在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=1cm时,直接写出AP的长.【答案】(1)?BME或?ABP或?PBM或?MBC(2)①15,15;②?MBQ??CBQ,理由见解析40()AP?cm311【解析】1【分析】()根据折叠的性质,得BE?BM,结合矩形的性质得?BME?30?,进而12可得?ABP??PBM??MBC?30?;Rt?BQM?Rt?BQC?HL?(2)根据折叠的性质,可证,即可求解;20:..(3)由(2)可得QM?QC,设AP?PM?x,PD?8?x,由勾股定理即可求解;【小问1详解】1∵AE?BE?AB,AB?BM解:21∴BE?BM2∵?BEM?90?∴?BME?30?∴?MBE?60?∵?ABP??PBM∴?ABP??PBM??MBC?30?【小问2详解】∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC,∠A=∠ABC=∠C=90°由折叠性质得:AB=BM,∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∵BM?BC,BQ?BQRt?BQM?Rt?BQC?HL?∴∴?MBQ??CBQQDMBC=30°∴?MBQ??CBQ?15?②∵BM?BC,BQ?BQ∴Rt?BQM?Rt?BQC?HL?∴?MBQ??CBQ【小问3详解】∵FQ?1cm,DF?FC?4cm,AB?8cm∴QC?CD?DF?FQ?8?4?1?3(cm),DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)由(2)可知,QM?QC设AP?PM?x,PD?8?x,∴PD2?DQ2?PQ2,?8?x?2?52??x?3?2即40x?解得:1121:..40∴AP?cm11【点睛】本题主要考查矩形与折叠,正方形的性质、勾股定理、三角形的全等,