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)①m·n>0;②m?0,n?0;③a2?a;④关于x的一元二次方程?x?1?2?a2?a?0的两个根为x?m?2,x?n?、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分。?4有意义,=?1是一元二次方程3?ax2?bx?6的一个根,则a?b?.,在用配方法解一元二次方程x2?6x?40时,配方的过程可以用拼图直观地表示,即看成将一个长是?x?6?、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形,,3a?6是最简二次根式,,n是方程x2?3x?6?0的两个实数根,则m2?mn?4m?n??px?q?0变形为x2?px?q,就可以将x2表示为关于x的一次多项式,从而达到“降次”的目的,又如x3?x?x2?x?px?q???,我们将这种方法称为“降次法”,“降次法”,已知:x2?x?1?0,且x?0,则x3?2x2?2x?、解答题:本题有7小题,、:..17.(6分)计算:??211????(1)48?3??12?24;(2)??1??2?32??3???18.(8分)解方程:(1)2;(2)4x?2x?1??3?2x?1?.x?2x?119.(8分)(1)已知a?2?1,b?2?1,求a3b??11(2)已知x?,求x2?x?.(10分)2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相,作为中华民族重要的精神象征和文化符号,千百年来,龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域,也呈现了吉祥如意、,已知吉祥物每件的进货价为30元,经市场调研发现,当该吉祥物的销售单价为40元时,每天可销售300件;当销售单价每增加2元,每天的销售数量将减少10件.(销售利润=销售总额-进货成本)(1)若“龙辰辰”吉祥物的销售单价为46元,则当天销售量为件;(2)该吉祥物的当天利润有可能达到6200元吗?若能,请求出此时的销售单价;若不能,.(10分)阅读理解:由?a?b?2?0得,a2?b2?2ab;如果两个正数a,b,即a?0,b?0,则有下3:..面的不等式:a?b?2ab,当且仅当a?b时,:已知x?0,求式子x?:令a?x,b?,则由a?b?2ab,得x??2x??4,xxx4当且仅当x?时,即正数x?2时,式子有最小值,:9(1)当x?0,式子x?的最小值为;x(2)如图1,用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园,使这个长方形花园的一边靠墙(墙长20米,篱笆周长指不靠墙的三边),这个长方形的长、宽各为多少米时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是多少米?22.(12分)已知关于x的一元二次方程?k?1?x2?3x?1?0有两个不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围;(2)是否存在实数k,使该方程的两个实数根x、x满足x?x?5?2xx,若存在,请求出k的值;若不存在,.(12分)阅读材料,并解决问题.【学****研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法,以x2?2x?35?0为例,构造方法如下:4:..2x?x?2??35x?2首先将方程x?2x?35?0变形为,然后画四个长为,宽为x的矩形,按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形,则图①中大正方形的面积可表示为?x?x?2?2,还可表示为四个矩形与一个边长24x?x?2??22?4?35?4?x?x?2?2?144x为的小正方形面积之和,,,所以2x?2?12,即x?,这样的做法只能得到方程的其中一个正根.【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2?3x?2?0,请将其解答过程补充完整:3第一步:将原方程变形为x2?x?1?0,即x(______)?1;2第二步:利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形;(在画图区画出示意图,标明各边长)第三步:根据大正方形的面积可得新的方程______,解得原方程的一个根为______;【拓展应用】一般地,对于形如x2?ax?b的一元二次方程可以构造图②②是由四个面积为3的相同矩形构成,中间围成的正方形面积为4,那么此方程的系数a?______,b?______,:..2024学年杭州市重点中学八年级(下)(3月份)月考数学试卷答案解析一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项最符合题目要求。()A.??2?2???32??2??3?2【答案】D【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算,熟练掌握运算法则是解答的关键.【详解】解:A.??2?2?2,计算错误;?32?22,计算错误;、2不能合并,计算错误;?3?4?2,计算正确;?2x?1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(),1,?,2,,?2,?,2,?1【答案】C【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是:ax2?bx?c?0(a,b,c是常数且a?0)特别要注意a?,bx叫一次项,,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,:ax2?bx?c?0(a,b,c是常数且a?0),其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项可得答案.【详解】解:3x2?2x?1变形为:3x2?2x?1?0,则,3x2?2x?1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3,?2,?1,故选:,则满足条件n的最小正整数值为().:..【答案】D【分析】先化简24n,然后依据24n是正整数可得到问题的答案.【详解】解:24n?4?6n?26n,∵24n是正整数,∴6n为完全平方数,∴:=?1是方程x2?2x?m?0的一个根,则m的值是( )A.???2【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解:,把x=?1代入方程x2?2x?m?0得到关于m的一次方程,然后解此一次方程即可.【详解】解:把x=?1代入x2?2x?m?0得:1?2?m?0,解得m??::判断方程x2?x?1?0一个解的取值范围是()?x?1????x??x??x??x?【答案】C【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解,根据表格中的数据可得:?x?1的值为0,于是可判断方程x2?x?1??x?.【详解】解:由题意得:当x?,x2?x?1??,7:..当x?,x2?x?1?,∴方程x2?x?1??x?:.“读万卷书,行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识,坚持开展课外阅读活动,,则可列方程为()(1?x)2?(1?x%)2??1?2x???100?1?x??100(1?x)2?121【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的应用,掌握为增长率问题的一般形式为a(1?x)2?b,a为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量是解决问题的关键.【详解】解:设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x,根据题意得100(1?x)2?:?2x?3?0有两个实数根,则a的取值范围是()??且a???且a?????3333【答案】B【分析】??0且a?0,求出a的取值范围即可.【详解】解:∵关于x的一元二次方程ax2?2x?3?0有两个实数根,∴??4?12a?0且a?0,1解得a??且a?0,3故选:,折成一个面积为24cm2的矩形,则矩形的宽为()【答案】Dxcm?10?x?cm【分析】本题考查了一元二次方程的应用,设矩形的宽为,则矩形的长为,根据“折成一个面积为24cm2的矩形”,列出一元二次方程,解方程即可得出答案,理解题意,?10?x?cm【详解】解:设矩形的宽为,则矩形的长为,由题意得:x?10?x??24,8:..整理得:x2?10x?24?0,解得:x?4,x?6,12当x?4时,长为10?x?10?4?6cm,满足题意;当x?6时,长为10?x?10?6?4cm,不满足题意;?矩形的宽为4cm,故选::《a,b,c》为一元二次方程ax2?bx?c?0(其中a?0,a,b,c为实数)的“共同体数”,如:x2?2x?1?0的“共同体数”为《1,2,?1》,以下“共同体数”中能让一元二次方程ax2?bx?c?0有两个不相等的实数根的是()1A.《3,2,1》B.《3,4,5》C.《n?1,2n,n?1》D.《m,m,m?》m【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义,根据一元二次方程根的判别式进行计算,即可求解.【详解】解:“共同体数”为《3,2,1》时,一元二次方程为3x2?2x?1?0∵Δ?b2?4ac?22?4?3?1??8?0,∴3x2?2x?1?0没有实数根,故该选项不符合题意;“共同体数”为《3,4,5》时,一元二次方程为3x2?4x?5?0∵??b2?4ac?42?4?3?5??44?0,∴3x2?4x?5?0没有实数根,故该选项不符合题意;“共同体数”为《n?1,2n,n?1》时,一元二次方程为?n?1?x2?2nx?n?1?0∵Δ?b2?4ac?4n2?4??n?1??n?1??4?0,∴?n?1?x2?2nx?n?1?03x2?2x?1?0有两个不相等实数根,故该选项符合题意;“共同体数”为《m,m,m?》时,一元二次方程为mx2?mx?m??0mm?1?∵Δ?b2?4ac?m2?4?m?m???3m2?4?0,???m?1∴mx2?mx?m??0没有实数根,故该选项不符合题意;m故选:?2x?a2?b2?ab?0的两个根为x?m,x?n,且a?b?( )9:..①m·n>0;②m?0,n?0;③a2?a;④关于x的一元二次方程?x?1?2?a2?a?0的两个根为x?m?2,x?n?【答案】C【分析】根据根与系数的关系得xx?mn?a2?b2?ab,利用a?b?1消去b得到12?1?23mn?a2?a?1?a???0,从而即可对①进行判断;由于x?x?m?n?2?0,xx?mn?0,利用有??1212?2?4?22??2?理数的性质可对②进行判断;根据根的判别式的意义得到Δ?4?4a?b?ab?0,即4?4a?a?1?0,则可对③进行判断;利用a2?b2?ab?a2?a?1把方程x2?2x?a2?b2?ab?0化为?x?1?2?a2?a?1?0,由?x?1?2?a2?a?0??x?2??1?2?a2?a?0x?2?mx?2?n④于方程可变形为??,所以或,于是可对进行判断.【详解】解:根据根与系数的关系得xx?mn?a2?b2?ab,12∵a?b?1,∴b?1?a,?1?23∴mn?a2??1?a?2?a?1?a??a2?a?1?a???0,所以①正确;???2?4∵x?x?m?n?2?0,xx?mn?0,1212∴m?0,n?0,所以②正确;∵Δ?0,?22?∴4?4a?b?ab?0,4?4?a2?a?1??0即,∴a?a2,所以③错误;∵a2?b2?ab?a2?a?1,∴方程x2?2x?a2?b2?ab?0化为?x?1?2?a2?a?1?0,10:..即?x?1?2?a2?a?0,??22????22∵方程x?1?a?a?0可变形为x?2?1?a?a?0,??∴x?2?m或x?2?n,解得x?m?2,x?n?2,所以④:、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分。?4有意义,则x的最小值的算术平方根是.【答案】2【分析】此题考查了二次根式有意义的条件、算术平方根、解一元一次不等式等知识,根据二次根式有意义的条件得到x?4?0,求出不等式的解集,找到x的最小值求出其算术平方根即可.【详解】解:若二次根式x?4有意义,则x?4?0,解得x?4,∴x的最小值为4,4的算术平方根是2,故答案为:=?1是一元二次方程3?ax2?bx?6的一个根,则a?b?.【答案】3【分析】本题考查一元二次方程的解的定义,=?1代入该一元二次方程即可求解.【详解】解:将x=?1代入一元二次方程3?ax2?bx?6,得:3?a?b?6,∴a?b?:,在用配方法解一元二次方程x2?6x?40时,配方的过程可以用拼图直观地表示,即看成将一个长是?x?6?、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形,:..【答案】3【分析】本题考查的是解一元二次方程,用配方法求解即可.【详解】解:x2?6x?40,x2?6x?9?40?9,?x?3?2?49,∴m=:,3a?6是最简二次根式,则a的最小值为.【答案】3【分析】直接利用最简二次根式的定义进行分析即可得.【详解】∵a是正整数,3a?6是最简二次根式,∴=3?a?2?3a?6,∵a为1时,3?a?2?=3,a为2时,3?a?2?=2,均不是最简二次根式,3a为3时,3?a?2?=15,此时是最简二次根式,∴a最小为3,故答案为:,n是方程x2?3x?6?0的两个实数根,则m2?mn?4m?n?【答案】?3【分析】本题考查根与系数关系,一元二次方程的解等知识,解题的关键是掌握x,x是一元二次方程12bcax2?bx?c?0(a?0)的两根时,x?x??,x?x?.由m,n是方程x2?3x?6?的两个实数根,推出12a12am?n?3,mn??6,m2?3m?6?0,推出m2?3m?6,再利用整体代入的思想解决问题.【详解】解:?m,n是方程x2?3x?6?0的两个实数根,?m?n?3,mn??6,m2?3m?6?0,12:..?m2?3m?6,?m2?mn?4m?n?3m?6?mn?4m?n?6?mn?(m?n)?6?(?6)?3??:??px?q?0变形为x2?px?q,就可以将x2表示为关于x的一次多项式,从而达到“降次”的目的,又如x3?x?x2?x?px?q???,我们将这种方法称为“降次法”,“降次法”,已知:x2?x?1?0,且x?0,则x3?2x2?2x?1的值为.【答案】1?5【分析】先利用x2?x?1?0得到x2?x?1,代入得到x3?2x2?2x?1化为2x,然后解方程x2?x?1?0得,从而得到x3?2x2?2x?1的值.【详解】解:?x2?x?1?0,?x2?x?1?x3?x?x2?x(x?1)?x2?x?2x?1?x3?2x2?2x?1?2x?1?(2x+1)?2x?1?2x,解x2?x?1?0得,a?1,b??1,c??1b2?4ac?1?4?5?x>0?b?b2?4ac1?5?x??2a21?5?x3?2x2?2x?1?2x?2??1?5,2故答案为:1+、解答题:本题有7小题,、.(6分)计算:??211????(1)48?3??12?24;(2)??1??2?32??3???13:..【答案】(1)4?6723(2)?33【分析】本题考查了二次根式的混合计算,熟练掌握二次根式的性质,二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键.(1)直接利用二次根式的加减乘除运算规则进行计算;(2)先计算完全平方式及平方差公式,最后再合并同类二次根式即可.【详解】(1)解:原式?16?6?26?4?6;13(2)解:原式??2??1?4?333723??.3318.(8分)解方程:(1)2;(2)4x?2x?1??3?2x?1?.x?2x?1【答案】(1)x??1?2,x??1?21131(2)x?,x??1422【分析】本题考查解一元二次方程,解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法.(1)利用配方法解答此方程;(2)先移项,然后提公因式,即可解答此方程.【详解】(1)解:∵x2?2x?1,∴x2?2x?1?2,∴?x?1?2?2,∴x?1?2或x?1??2,解得x??1?2,x??1?2;11(2)4x?2x?1??3?2x?1?,4x?2x?1??3?2x?1??0,14:..?4x?3??2x?1??0,∴4x?3?0或2x?1?0,31解得x?,x??.142219.(8分)(1)已知a?2?1,b?2?1,求a3b??11(2)已知x?,求x2?x?【答案】(1)?42;(2)1【分析】(1)先计算ab?1,a?b?22,a?b??2,再根据a3b?ab3?ab(a?b)(a?b),即可求出答案;11(2)利用完全平方公式得(x?)2?,【详解】解:(1)?a?2?1,b?2?1,?ab?(2?1)(2?1)?2?1?1,a?b?22,a?b??2,?a3b?ab3?ab(a2?b2)?ab(a?b)(a?b)?1?22?(?2)??42;111(2)原式?(x2?x?)??42411?(x?)2?243?111?(?)2?22431?()2?2431??44?.(10分)2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相,作为中华民族重要的精神象征和文化符号,千百年来,龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域,也呈现了吉祥如意、,已知吉祥物每件的进货价为30元,经市场调研发现,当该吉祥物的销售单价为40元时,每天可销售300件;当销售单价每增加2元,每天的销售数量将减少10件.(销售利润=销售总额-进货成本)(1)若“龙辰辰”吉祥物的销售单价为46元,则当天销售量为件;15:..(2)该吉祥物的当天利润有可能达到6200元吗?若能,请求出此时的销售单价;若不能,请说明理由.【答案】(1)270;(2)不能,理由见解析.【分析】(1)根据题意列出算式即可求解;(2)假设该吉祥物的当天利润能达到6200元,设销售单价增加x元,由题意可得一元二次方程?40?x?30??300?5x??6200Δ?06200,由得到方程没有实数根,即可判断当天利润不能达到元;本题考查了一元二次方程的应用,根的判别式,有理数的混合运算,根据题意,找到等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.【详解】(1)解:(1)根据题意得,当天销售量为:46?40300?10?26?300?10?,2?300?30,?270(件),∴若“龙辰辰”吉祥物的销售单价为46元,则当天销售量为270件,故答案为:270;(2)解:该吉祥物的当天利润不能达到6200元,理由如下:6200x?40?x?30?假设该吉祥物的当天利润能达到元,设销售单价增加元,则每件的销售利润为元,每天可x销售300?10???300?5x?件,2根据题意得:?40?x?30??300?5x??6200,整理得:x2?50x?640?0,∵????50?2?4?1?640??60?0,∴原方程没有实数根,∴假设不成立,.(10分)阅读理解:由?a?b?2?0得,a2?b2?2ab;如果两个正数a,b,即a?0,b?0,则有下面的不等式:a?b?2ab,当且仅当a?b时,:已知x?0,求式子x?:..444解:令a?x,b?,则由a?b?2ab,得x??2x??4,xxx4当且仅当x?时,即正数x?2时,式子有最小值,:9(1)当x?0,式子x?的最小值为;x(2)如图1,用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园,使这个长方形花园的一边靠墙(墙长20米,篱笆周长指不靠墙的三边),这个长方形的长、宽各为多少米时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是多少米?【答案】(1)6(2)20米【分析】本题主要考查完全平方公式的应用,二次根式的应用,阅读材料,材料阅读题是中学阶段所学****的重要内容,体会材料中的数学思想与方法,学会用新方法去解决数学中的问题,对学生的要求较高,是一道拔高型的综合题目.(1)?0?y?20?xy?50y?()设这个长方形垂直于墙的一边的长为米,则平行于墙的一边为米,则,,x?50?50所以所用篱笆的长为??2x?米,再根据材料提供的信息求出?2x的最小值即可.?x?x999【详解】(1)解:令a?x,b?,则由a?b?2ab,得x??2x??6,xxx9当且仅当x?时,即正数x?3时,式子有最小值,(2)解:设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米,则平行于墙的一边为y?0?y?20?米,则xy?50,50∴y?,x?50?∴所用篱笆的长为??2x?米,?x?17:..5050?2x?2?2x?20xx5050∵当且仅当?2x时,?2x的值最小,最小值为20,xx∴x?5或x??5(舍去).∴这个长方形的长、宽分别为10米,5米时,所用的篱笆最短,.(12分)已知关于x的一元二次方程?k?1?x2?3x?1?0有两个不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围;(2)是否存在实数k,使该方程的两个实数根x、x满足x?x?5?2xx,若存在,请求出k的值;若不存在,【答案】(1)k?且k?144(2)存在实数k?,使该方程的两个实数根x、x满足x?x?5?2xx5121212【分析】此题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系,∵x?k?1?x2?3x?1?0【详解】()解:关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,∴??0,且k?1?0,?9?4?k?1??0∴?,?k?1?013解得:k?且k?1;4(2)存在实数k,使该方程的两个实数根x、x满足x?x?5?2xx,理由如下:12121231xx?k?1?x2?3x?1?0x?x??x?x?若、是的两个实数根,则,,1212k?112k?1∵x?x?5?2xx,121232∴??5?,k?1k?14解得k?,5413∵?,5418:..4k??k?1?x2?3x?1?0∴时,有两个实数根,54∴存在实数k?,使该方程的两个实数根x、x满足x?x?5?.(12分)阅读材料,并解决问题.【学****研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法,以x2?2x?35?0为例,构造方法如下:2x?x?2??35x?2①首先将方程x?2x?35?0变形为,然后画四个长为,宽为x的矩形,按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形,则图①中大正方形的面积可表示为?x?x?2?2,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和,即4x?x?2??22?4?35?,可得新方程?x?x?2?2?,所以2x?2?12,即x?,这样的做法只能得到方程的其中一个正根.【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2?3x?2?0,请将其解答过程补充完整:3第一步:将原方程变形为x2?x?1?0,即x(______)?1;2第二步:利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形;(在画图区画出示意图,标明各边长)第三步:根据大正方形的