2024年绵阳市自主招生考试数学试题含答案解析.pdf

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,再利用其它方法分解,(2)班的“精英小组”有男生4人,女生3人,若选出一人担任班长,则组长是男生的概率为.【考点】概率公式.【分析】由风华中学七年级(2)班的“精英小组”有男生4人,女生3人,直接利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解:∵风华中学七年级(2)班的“精英小组”有男生4人,女生3人,∴选出一人担任班长,则组长是男生的为:=.故答案为:.【点评】=,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE⊥BC,垂足为E,连接DE交AC于点P,过P作PF⊥BC,垂足为F,:..【考点】相似三角形的判定与性质;矩形的性质.【专题】综合题;压轴题.【分析】根据题意易证△OBE∽△DBC和△EPF∽△EDC,利用相似三角形的相似比求解.【解答】解:∵OB=OD=BD,OE⊥BC,CD⊥BC,∴△OBE∽△DBC,∴OE:CD=1:2,∵OE∥CD,∴△OEP∽△CDP,∴,∵PF∥DC,∴△EPF∽△EDC,∴,∵CE=BC,∴=.故答案为.【点评】,已知△ABC是面积为的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于(结果保留根号).【考点】相似三角形的性质;等边三角形的性质.【专题】计算题.【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积,再根据求出其边长,:..【解答】解:∵△ABC∽△ADE,AB=2AD,∴=,∵AB=2AD,S=,△ABC∴S=,△ADE如图,在△EAF中,过点F作FH⊥AE交AE于H,∵∠EAF=∠BAD=45°,∠AEF=60°,∴∠AFH=45°,∠EFH=30°,∴AH=HF,设AH=HF=x,则EH=xtan30°=∵S=,△ADE作CM⊥AB交AB于M,∵△ABC是面积为的等边三角形,∴×AB×CM=,∠BCM=30°,设AB=2k,BM=k,CM=k,∴k=1,AB=2,∴AE=AB=1,∴x+x=1,解得x==.∴S=×1×=.△AEF故答案为:.第14页:..【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点,解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积,,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,(2,3),B(1,1),D(4,3),则点P的坐标为(3,).【考点】等腰梯形的性质;两条直线相交或平行问题.【分析】过A作AM⊥x轴与M,交BC于N,过P作PE⊥x轴与E,交BC于F,根据点的坐标求出各个线段的长,根据△APD∽△CPB和△CPF∽△CAN得出比例式,即可求出答案.【解答】解:过A作AM⊥x轴与M,交BC于N,过P作PE⊥x轴与E,交BC于F,∵AD∥BC,A(2,3),B(1,1),D(4,3),∴AD∥BC∥x轴,AM=3,MN=EF=1,AN=3﹣1=2,AD=4﹣2=2,BN=2﹣1=1,∴C的坐标是(5,1),BC=5﹣1==4﹣1=3,∵AD∥BC,∴△APD∽△CPB,∴===,∴=∵AM⊥x轴,PE⊥x轴,∴AM∥PE,∴△CPF∽△CAN,第15页:..∴===,∵AN==3,∴PF=,PE=+1=,CF=2,BF=2,∴P的坐标是(3,),故答案为:3,.【点评】本题考查了坐标与图形性质,梯形的性质,相似三角形的性质和判定的应用,,抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A,与过点A平行于x轴的直线相交于点B(点B在第一象限).抛物线的顶点C在直线OB上,,使其经过点A、D,则平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣x+.【考点】二次函数图象与几何变换.【专题】压轴题.【分析】先求出点A的坐标,再根据中位线定理可得顶点C的纵坐标,然后利用顶点坐标公式列式求出b的值,再求出点D的坐标,根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n,把点A、D的坐标代入进行计算即可得解.【解答】解:∵令x=0,则y=,∴点A(0,),根据题意,点A、B关于对称轴对称,∴顶点C的纵坐标为×=,第16页:..即=,解得b=3,b=﹣3,12由图可知,﹣>0,∴b<0,∴b=﹣3,∴对称轴为直线x=﹣=,∴点D的坐标为(,0),设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n,则,解得,所以,y=x2﹣x+.故答案为:y=x2﹣x+.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,根据二次函数图象的对称性确定出顶点C的纵坐标是解题的关键,、解答题:本大题共6个小题,.(1)计算:()﹣2﹣6sin30°+(﹣2)0+|2﹣|;(2)先化简,再求值:÷(x+2﹣),其中x=﹣3.【考点】分式的化简求值;实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.【分析】(1)根据负整数指数幂、锐角三角函数、零指数幂和绝对值可以解答本题;(2)先化简式子,再将x的值代入即可解答本题.【解答】解:(1)()﹣2﹣6sin30°+(﹣2)0+|2﹣|第17页:..=4﹣6×+1+|2﹣|=4﹣3+1+﹣2=2;(2)÷(x+2﹣)====,当x=﹣3时,原式=.【点评】本题考查分式的化简求值,:每月22天,:按件计酬,多劳多得,每月另加福利工资500元,、B两种产品,,、;生产3件A产品和2件B产品需85分钟.(1)小李生产1件A产品需要15分钟,生产1件B产品需要20分钟.(2)求小李每月的工资收入范围.【考点】二元一次方程组的应用.【专题】应用题.【分析】(1)生产1件A产品需要的时间+生产1件B产品需要的时间=35分钟,生产3件A产品需要的时间+生产2件B产品需要的时间=85分钟,可根据这两个等量关系来列方程组求解;(2)可根据(1)中计算的生产1件A,B产品需要的时间,根据“每生产一件A种产品,,每生产一件B种产品,”来计算出生产A,B产品每分钟的获利情况,然后根据他的工作时间,求出这两个获利额,那么他的工资范围就应该在这两个获利额之间.【解答】解:(1)设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟,根据题意,得第18页:..,:小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要15分钟和20分钟;(2)w=500++(22×8×60﹣15x)÷20,整理得w=﹣+,则w随x的增大而减小,由(1)÷15=,÷20=,若小李全部生产A种产品,×22×8×60+500=1556元,若小李全部生产B种产品,×22×8×60+500=.【点评】考查了二元一次方程组的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系:“1件A,1件B用时35分钟”和“3件A,2件B用时85分钟”,列出方程组,:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ①cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan(α+β)=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值,如:tan105°=tan(45°+60°)====﹣(2+).根据上面的知识,你可以选择适当的公式解决下面的实际问题:如图,直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°,底端C点的俯角β=75°,此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m,:..【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.【专题】压轴题;阅读型.【分析】先由俯角β的正切值及BC求得AB,再由俯角α的正切值及BC求得A、.【解答】解:由于α=60°,β=75°,BC=42,则AB=BC?tanβ=42tan75°=42?=42?=42(),A、D垂直距离为BC?tanα=42,∴CD=AB﹣42=84(米).答:建筑物CD的高为84米.【点评】本题考查俯角的定义,,四边形ABCD是正方形,点E、K分别在BC、AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG.(1)求证:①DE=DG;②DE⊥DG;(2)以线段DE、DG为边作出正方形DEFG,连接KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想.【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.【分析】(1)①根据正方形性质求出AD=DC,∠GAD=∠DCE=90°,根据全等三角形判定推出即可;②根据全等得出∠GDA=∠CDE,求出∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠ADC=90°即可;(2)四边形CEFK是平行四边形,推出EF=CK,EF∥CK,根据平行四边形的判定推出即可.【解答】(1)①证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠GAD=∠DCE=90°,在△GAD和△ECD中第20页:..∴△GAD≌△ECD(SAS),∴DE=DG;②∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC=90°,∵△GAD≌△ECD,∴∠GDA=∠CDE,∴∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°,∴DE⊥DG;(2)四边形CEFK是平行四边形,理由如下:证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠ECD=90°,BC=CD,在△KBC和△ECD中,∴△KBC≌△ECD(SAS),∴DE=CK,∠DEC=∠BKC,∵∠B=90°,∴∠KCB+∠BKC=90°,∴∠KCB+∠DEC=90°,∴∠EOC=180°﹣90°=90°,∵四边形DGFE是正方形,∴DE=EF=CK,∠FED=90°=∠EOC,∴CK∥EF,∴四边形CEFK是平行四边形.【点评】此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图,解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论,,点O在线段AB延长线上,以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O第21页:..上的一点.(1)如图,如果AP=2PB,PB=BO,求证:△CAO∽△BCO;(2)如果AP=m(m是常数,且m>1),BP=1,OP是OA、OB的比例中项,当点C在圆O上运动时,求AC:BC的值(结果用含m的式子表示).【考点】相似三角形的判定与性质;圆周角定理.【分析】(1)根据夹角相等,对应边成比例可证;(2)OP是OA,OB的比例中项,OC=OP,△CAO∽△BCO可得.【解答】(1)证明:∵AP=2PB=PB+BO=PO,∴AO=2PO.∴==2,∵PO=CO,∴.∵∠COA=∠BOC,∴△CAO∽△BCO;(2)解:设OP=x,则OB=x﹣1,OA=x+m,∵OP是OA,OB的比例中项,∴x2=(x﹣1)(x+m),∴x=.即OP=,∴OB=,∵OP是OA,OB的比例中项,即=,∵OP=OC,第22页:..∴.设⊙O与线段AB的延长线相交于点Q,当点C与点P,点Q不重合时,∵∠AOC=∠COB,∴△CAO∽△BCO,∴=,∴===,可得=m,∴当点C在圆O上运动时,AC:BC=m.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,比例的性质,,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O为原点,E为AB上一点,把△CBE沿CE折叠,使点B恰好落在OA边上的点D处,点A,D的坐标分别为(5,0)和(3,0).(1)求点C的坐标;(2)求DE所在直线的解析式;(3)设过点C的抛物线y=2x2+bx+c(b<0)与直线BC的另一个交点为M,问在该抛物线上是否存在点G,使得△CMG为等边三角形?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】综合题;压轴题.【分析】(1)根据折叠的性质可得出BC=CD=AO=5,可在直角三角形OCD中,根据CD和OD的长用勾股定理求出OC的值