江苏省南京市联合体2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷.pdf

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BC的延长线于点E,过E作EF⊥AB交AB于点F.(1)求证△DEC∽△EFB;(2)若BC=6,CE=2,求AF的长.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CD∥AB,∴∠DCE=∠EBF,∵DE⊥BC交BC的延长线于点E,EF⊥AB于点F,∴∠DEC=∠EFB=90°,∴△DEC∽△EFB.(2)解:∵BC=6,CE=2,∴AB=CD=BC=6,BE=BC+CE=6+2=8,∵△DEC∽△EFB,∴=,:..∴BF===,∴AF=AB﹣BF=6﹣=,∴.(7分)已知y是x的二次函数,y与x的部分对应值如下表:x…﹣2﹣10123…y…941014…(1)求该二次函数的表达式;(2)将该函数图象沿直线x=﹣1翻折,所得图象的函数表达式为y=x2+6x+9.【解答】解:(1)由表格得:抛物线的顶点为(1,0),设函数关系式为y=a(x﹣1)2,则1=a(0﹣1)2,解得:a=1,∴y=(x﹣1)2=x2﹣2x+1,∴该二次函数的表达式为y=x2﹣2x+1;(2)由(1)得抛物线的顶点为(1,0),点(1,0)关于直线x=﹣1的对称点为(﹣3,0),∴该函数图象沿直线x=﹣1翻折,所得图象的函数表达式为y=(x+3)2=x2+6x+:y=x2+6x+.(8分)如图,AB是⊙O的弦,C是的中点.(1)连接OC,求证:OC垂直平分AB;(2)若AB=8,,求⊙O的半径.【解答】(1)证明:连接OA,OB,OC,∵由C是的中点,:..∴=,∴∠AOC=∠BOC,∵OA=OB,∴OC垂直平分AB;(2)解:由(1)知,OC垂直平分AB,∵AB=8,,∴AD=AB=4,∴CD===2,设⊙O的半径为r,则OD=r﹣2,OA=r,在Rt△AOD中,AD2+OD2=OA2,即42+(r﹣2)2=r2,解得r=.(8分)如图,AD,BC相交于点E,AB∥CD∥EF,B,F,=10,CD=15.(1)求的值;(2)求EF的长.【解答】解:(1)∵AB∥CD,∴===,又∵AB∥EF,:..∴==;(2)∵CD∥EF,∴=,又∵CD=15,=,∴EF=CD?=15×=.(8分)某游乐城销售一种玩具,当售价为50元/件时,,通过市场调研发现,该玩具单价每降1元,.(1)售价为多少元时,每天的利润为864元?(2)售价为多少元时,每天的利润最大,最大利润为多少元?【解答】解:(1)设售价为x元时,每天的利润为864元,由题意得:(x﹣30)[4+4×(50﹣x)]=864,解得:x1=46,x2=44,答:售价为46或44元时,每天的利润为864元,(2)设售价为x元时,每天的利润为w元,由题意得:w=(x﹣30)[4+4×(50﹣x)],=﹣4x2+280x﹣6000,当x=﹣=35时,w有最大值,最大值为900元,答:售价为35元时,每天的利润最大,.(8分)已知二次函数y=ax2﹣4ax(a为常数).(1)求证:该函数的图象与x轴总有两个公共点;(2)该函数图象必过两个定点,它们的坐标分别为(0,0)、(4,0);(3)当0<x<4时,y<4,直接写出a的取值范围.【解答】(1)证明:由题知,(﹣4a)2﹣4a×0=16a2,因为a≠0,所以16a2>0,故该函数的图象与x轴总有两个公共点.(2)解:因为y=ax2﹣4ax=(x2﹣4x)a,:..又因为函数图象必过两个定点,即与a的取值无关,所以x2﹣4x=0,解得x=0或4,所以定点的坐标为(0,0)和(4,0).故答案为:(0,0),(4,0).(3)解:因为抛物线过定点(0,0)和(4,0),若a>0,0<x<4时,此时抛物线都在x轴下方,满足y<<0,0<x<4时,当x=2时的函数值小于4,即4a﹣8a<4,解得a>﹣1,所以﹣1<a<,﹣1<a<0或a>.(9分)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,点D在AB上,AC=AD,连接CD并延长交⊙O于点E,点F在AB的延长线上,且∠AFE=∠ABC.(1)连接BE,求证BE=DE;(2)求证:EF是⊙O的切线;(3)若AC=8,BC=6,则DE的长为.【解答】(1)证明:∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC,∵,∴∠ACD=∠EBD,∵∠EDB=∠ADC,:..∴∠EDB=∠EBD,∴BE=DE;(2)证明:如图1,连接OE,∵OB=OE,∴∠DBE=∠OEB,∵∠DBE=∠ACD=∠ADC,∴∠OEB=∠ADC,∴∠EOB=∠CAD,∵AB是⊙O的直径,∴∠CAD+∠ABC=90°,∵∠ABC=∠AFE,∴∠OEB+∠AFE=90°,∴∠OEF=90°,∴OE⊥EF,∴EF是⊙O的切线;(3)解:如图2,作CG⊥AB于G,∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB=10,∴BD=AB﹣AD=AB﹣AC=2,∵sinA=,cosA=,∴,,∴CG=,AG=,∴DG=AD﹣AG=AC﹣AG=8﹣,∴CD==,∵∠ACD=∠ADC=∠EDB=∠EBD,∴△EDB∽△ADC,:..∴,∴,∴DE=,故答案为:.27.(9分)【经验积累】如图①,在正方形ABCD中,E是AB上任意一点,连接DE,CE,过点A作AF⊥DE,垂足为F.(1)求证AD2=DF?DE.(2)(Ⅰ)求证△CDF∽△EDC;(Ⅱ)若,则的值为.【方法迁移】(3)如图②,C是∠AOB平分线上的一点,过点C作CP⊥OA,垂足为P,∠AOB=60°,CP=2,则的最大值为.:..【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAE=90°,∴∠AED+∠ADE=90°,∵AF⊥DE,∴∠DAF+∠ADE=90°,∴∠ADF=∠AED,∵∠ADF=∠EDA,∴△ADF∽△EDA,∴,∴AD2=DF?DE.(2)①∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,由(1)知,∴,∵∠CDF=∠EDC,∴△CDF∽△EDC,②∵,∴,∵=,∴=,∴=,故答案为:;(3)过点P作PM⊥OB于点M,过点Q作QN⊥OB,如图::..∵OC平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,∴∠POC=∠CON=30°,OC=4,OP=2,∴CN=2,PM=3,OM=,ON=2,MN=,∴PQ≤3,CQ≤2,当PQ最小时,即Q在M处,∴CM=,当CQ最小时,即点Q在点N处,∴PN=2,∴≤≤,∴,∴,即,∴的最大值为:,故答案为:.