文档介绍：第六讲立体几何新题型的解题技巧
【命题趋向】在2007年高考中立体几何命题有如下特点:
,将侧重于垂直关系.
,空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现.
、性质多在选择题,填空题出现.
、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点.
此类题目分值一般在17---22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题.
【考点***】(A),对于异面直线的距离,、直线和平面所成的角、、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.
(B)版.
①理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘.
②了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算.
③掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.
④理解直线的方向向量、平面的法向量,向量在平面内的射影等概念.
⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.
⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质,掌握球的表面积、体积公式.
⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图.
空间距离和角是高考考查的重点:特别是以两点间距离,点到平面的距离,两异面直线的距离,直线与平面的距离以及两异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角等作为命题的重点内容,高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查,分为多个小问题,,但也可能在最后一问中设置有难度的问题.
不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成,即寓证明于运算之中,正是本专题的一大特色.
求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。
【例题解析】
考点1 点到平面的距离
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用.
典型例题
例1(2007年福建卷理)如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点.
A
B
C
D
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的
大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维
能力和运算能力.
解答过程:解法一:(Ⅰ)取中点,连结.
A
B
C
D
O
F
为正三角形,.
正三棱柱中,平面平面,
平面.
连结,在正方形中,分别为
的中点, , .
在正方形中,, 平面.
(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得平面.
, 为二面角的平面角.
在中,由等面积法可求得,
又, .
所以二面角的大小为.
(Ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距离为.
设点到平面的距离为.
由,得,
.
点到平面的距离为.
解法二:(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
在正三棱柱中,平面平面,
平面.
x
z
A
B
C
D
O
F
y
取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则
,,,,,
,,.
,,
,.
平面.
(Ⅱ)设平面的法向量为.
,. ,,
令得为平面的一个法向量.
由(Ⅰ)知平面,
为平面的法向量.
,.
二面角的大小为.
(Ⅲ)由(Ⅱ),为平面法向量,
.
点到平面的距离.
小结:本例中(Ⅲ),把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法,这是数学解题中常用的方法;解法一采用了等体积法,这种方法可以避免复杂的几何作图,显得更简单些,因此可优先考虑使用这一种方法.
例2.( 2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
命题目的:本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
Q
B
C
P
A
D
O
M
过程指引:方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角;方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.
解答过程:
方法一(Ⅰ)取AD的中点,连结PM,QM.
因为P-ABCD与Q-ABCD都是