文档介绍：该【数字信号处理复习总结-最终版 】是由【青山代下】上传分享，文档一共【32】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【数字信号处理复习总结-最终版 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期内总能量。7)幅度频谱为的偶函数,相位频谱为ω的奇函数。8)X(ejω)的实部为ω的偶函数,X(ejω)的虚部为ω的奇函数。对称关系的总结(重点:如果x[n]为复数序列,其DTFT为X(ej),(a)x[n]实部的DTFT为X(ejω)的共轭对称部分-—-——--——-—(b)x[n]虚部的DTFT为X(ejω)的***轭对称部分----———-——-(c)x[n]的共轭对称部分的DTFT为X(ejω)的实部—-———-———-—(d)x[n]的***轭对称部分的DTFT为X(ejω)的虚部-——---—--——如果实序列x[n]的DTFT为X(ejω),(e)x[n]的偶对称部分的DTFT为X(ejω)的实部,——-—---——-—(f)x[n]的奇对称部分的DTFT为X(ejω)的虚部,—-————--——-例:设系统的单位取样响应,输入序列为,完成下面各题:(1)求出系统输出序列;(2)分别求出、和的傅里叶变换。(重点)解:(1)(2)2时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系:(重点)Z变换为离散时间信号与LTI系统分析的重要数学工具。给定一离散时间序列x(n),其z变换定义为:-—-—--(记住!!)其中,,。z变换存在情况下的Z变量取值范围称为收敛域(ROC).注意:Z变换+不同收敛域对应不同收敛域的不同序列序列(Z变换+收敛域)(重点)例:求以下序列的Z变换及收敛域:(重点)(1);(2);(3)页共32页:..解:(1)(2)(3)说明]上题也可以改为求序列的傅立叶变换。可以利用。2Z变换和DTFT之间的关系(重点)DTFT为单位圆上的z变换。数学表达为:---—-—记住并理解!3。序列特性与X(z)的收敛域ROC的关系。(重点),也只有Z变换的收敛区域确定之后,才能由Z变换唯一地确定序列。一般来来说,序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域:总结:。b。。对于有限长序列x[n],其z变换的收敛域ROC为整个z平面,可能在z=0或z=∞除外。只有序列为时,收敛域是整个Z平面。[n],其z变换的收敛域ROC由其离原点最远的极点确定,。对于左边序列x[n],其z变换的收敛域ROC由其离原点最近的极点确定,其形式为。[n],其z变换的收敛域ROC环状收敛域,,其形式为公共收敛域。4。Z反变换(重点)常用序列的Z变换(重点——记住!!):逆变换x,C:收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线留数定理:留数辅助定理:利用部分分式展开:,然后利用定义域及常用序列的Z变换求解.(重点)基本要求:用部分分式展开法求z反变换。(重点)例:假设,收敛域ROC为,则的z反变换为()。(重点)说明:本题要求掌握序列的时域特性域z变换收敛域之间的对应关系。具体说,有限长序列的z变换的ROC是怎样的,右边序列的z变换的ROC是怎样的,因果序列的z变换的ROC是怎样的,左边序列的z变换的ROC是怎样的,反因果序列的z变换的ROC是怎样的。典型序列的z变换表达式是否记住了?这两个典型z变换对,对求z变换或逆z变换非常重要。例:已知,试求与对应的所有可能的序列。(重点)解:同一个Z变换函数,收敛域不同,对应的序列也不同。本题没有给定收敛域,所以必须先确定收敛域。有两个极点:,,因为收敛域总是以极点为边界,所以收敛域有以下三种情况:,,,三种收敛域对应三种不同的原序列,分别讨论如下:(1)对应左边序列∴(2)对应双边序列∴页共32页:..(3)对应右边序列∴例:设,用部分分式展开法求逆Z变换。(重点)解:先去掉z的负幂次,以便于求解,将的分子分母同乘以,得:将等式两端同时除以z,得:因而得:由收敛域知,为右边序列,得:主要应用于单阶极点的序列。Z变换的性质○,1线性性质(重点)错误!序列的移位性质(重点)错误!序列乘以指数序列的性质(重点)错误!序列乘以n的ZT错误!复共轭序列的ZT错误!初值定理○,7终值定理○,8时域卷积定理(重点)设则错误!复卷积定理错误!帕斯维尔定理,那么1系统函数定义(重点)一个线性时不变离散时间系统在时域中可以用它的单位取样响应来表征,即:对等式两边取Z变换并根据时域卷积定理,有:则:一般称为系统的系统函数(系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比),(给定差分方程,能计算其系统函数,或给定系统函数,能计算得到差分方程.)(重点)页共32页:..频率响应(重点)频率响应是一个重要的概念,根据频率响应,可理解滤波。频率响应定义为系统单位冲激响应的DTFT:(重点)其中,|H(ej)|称为幅频响应,,这一点和连续系统的频率响应是不同的,学****时应加以注意。若h(n)为实数,则系统的幅度响应在区间内是偶对称的,而相位响应是奇对称的。注意:(ejω)可根据DTFT与z变换之间的关系简单得到:稳态响应的求解结论:对于LTI系统,如果输入为正弦序列x(n)=cos(ωt+φ),则输出响应y(n)必为相同形式的00正弦序列,但需在ω=ω的幅频响应|H(ejω)|进行加权,并通过相频响应在ω=ω的值进行移位,00即:y[n]=|H(ejω0)|cos(ωt+φ+)00例:假设实序列x[n]的DTFT记为,则其幅值是关于ω的(偶函数)。说明:还记得反复强调的一句话,实序列的DTFT的幅度、实部是关于频率ω偶函数,而相位和虚部则是关于频率ω奇函数。例:对于一LTI离散时间系统其频率响应,如果系统输x(n)=,响应的稳态输出响应(yn)=()。说明:将系统的频率响应写成幅度相位表达式:,则输出信号为:。这里由于给出了的具体表达式,所以需要分别计算出和之值。4用系统函数极点分布分析系统的因果性和稳定性(重点)系统函数:(传输函数H(z)为系统的单位冲激响应h(n)的Z变换。)1)稳定系统:有界的输入产生的输出也有界的系统,即:若,则线性移不变系统是稳定系统的充要条件:或:其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1(牢记此结论!)2)因果系统:时刻的输出只由时刻之前的输入决定线性移不变系统是因果系统的充要条件:或:其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部:即:|z|>Rx(牢记此结论!)3)稳定因果系统:同时满足上述两个条件的系统。线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件:,或:H(z)的极点在单位圆内H(z)的收敛域满足:(牢记此结论!)例:。一因果LTI离散时间系统的传输函数,则系统的单位冲激响应为(0。5nu(n)).说明:根据传递函数求系统的单位冲激响应,其实就是将传递函数进行逆z变换,但要注意系统的因果性如何。例:因果IIR离散时间LTI系统,其传输函数,则系统(稳定)。例:一FIR离散时间LTI系统总是(稳定)。说明:系统的稳定性如何判断?按照教材中的说法,就是系统传递函数的收敛域如果包括“单位圆”,则系统是稳定的。如果你熟悉了序列的z变换的ROC的性质,则此题不难回答。对于因果系统来说,其单位冲激响应为因果序列,故其z变换的ROC一定是某圆外部的整个区域。而这个圆就位于离原点最远的极点上,所以,对于因果系统,如果系统传递函数的全部极点都位于单位圆以内的页共32页:..话,则系统是稳定的。对于FIR系统,其单位冲激响应是一个有限长序列,其z变换的ROC为除了无穷远和原点之外的整个z平面,自然包括单位圆,所以系统始终是稳定的。5系统的频率特性可由系统函数零点及极点确定(式中,是极点,z是零点;在极点处,序列x(n)的Z变换是不收敛的,因此收敛区域内不应包ki括极点。)系统函数H(z)的极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度,:设一阶系统的差分方程为,,用几何法分析其幅频特性。(重点)解:对差分方程两边取Z变换,得:系统函数为:,极点为,零点为,如下图左所示:当时,由于极点矢量长度最短,幅频特性出现峰值,随着的增加,幅度逐渐减小,当时,由于极点矢量长度最长,幅频特性出现谷值,随着的增加,幅度逐渐增大,直到时,幅频特性出现峰值,如上图右所示。简答题:(重点)、左边序列、右边序列、双边序列的概念和收敛域各是什么??系统的频率响应和系统函数是什么关系?(单位圆上()的系统函数就是系统的频率响应)??答案:传输函数H(z):..第三章:是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算,本章是数字信号处理课程的重点章节。信号处理中会遇到几种信号形式:(1)连续周期信号(2)连续非周期信号(3)离散非周期信号(4)离散周期信号(重点)各种信号在时域和频域之间总的来说都是傅里叶变换,但具体形式及应用是不同的。——傅里叶级数(FS)连续周期信号可展开成傅里叶级数:(*)式中,,为的周期。傅里叶级数的系数为:幅度频谱是指各次谐波的振幅随频率的变化关系,即:——傅里叶变换(FT)连续非周期信号的傅里叶变换为:因为非周期可视为,则离散频谱间距,则变成的连续函数。—-序列的傅里叶变换(DTFT)如果把序列看成连续时间信号的采样,采样间隔为,则数字频率和模拟角频率的关系为,且,代入上式,得:——离散傅里叶级数(DFS)设是周期为的周期序列,即::一个域的离散对应另一个域的周期延拓,一个域的连续必定对应另一个域的非周期.(重点)(DFS)说明:离散傅里叶级数系数,用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示,离散周期序列也可以表示成傅里叶级数形式。周期为N的复指数序列的基频序列为k次谐波序列为由于,即,因而,离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。因此在展开成离散傅里叶级数时,我们只能取N个独立的谐波分量,通常取k=0到(N1),即(*)页共32页:..式中,1/N是****惯上采用的常数,是k次谐波的系数。利用将(*)式两端同乘以,并对一个周期求和即由于所以也是一个以N为周期的周期序列。因此,时域离散周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍然是一个周期序列。称为离散傅里叶级数系数,用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。令,则其中,符号DFS[.]表示离散傅里叶级数正变换,IDFS[。]表示离散傅里叶级数反变换。例:设,将以为周期进行周期延拓,得到周期序列,:其幅度特性为:2。周期序列的傅里叶变换思路:由利用和DTFT的频移特性,可得傅里叶变换时域、频域对应关系:根据序列的傅里叶变换和离散傅里叶级数频域特性,再结合连续时间信号的傅里叶变换频域特性,我们可以得出傅里叶变换时、频域的一般对应关系:连续→非周期,离散→周期。这种对应关系很重要,要求熟记(重点).(DFT)说明:(DiscreteFourierTransform,DFT离散傅里叶变换)1定义(重点),0≤≤--——--(记住!!),0≤n≤—-————记住!其中,应当注意,虽然和都是长度为得有限长序列,但他们分别是由周期序列和截取其主周期得到的,,。(重点)DFT的隐含周期性:(重点)例:设,求的4点DFT。(重点)解:的4点离散傅里叶变换为:以为周期将延拓成周期序列,得:其离散傅里叶级数为:例:设,求的8点DFT。(重点)解:的8点离散傅里叶变换为::..以为周期将延拓成周期序列,得:其离散傅里叶级数为:由例可见,离散傅里叶变换的结果与变换区间长度的取值有关。2离散傅立叶变换与DTFT、Z变换的关系(重点)DFT的物理意义:X(k)为x(n)的傅里叶变换在区间上的等间隔采样。为在Z平面单位圆上的点等间隔采样。3时域分析记住结论:时域抽样对应频域的周期拓展,频率抽样对应时域的以周期N的周期拓展。这可以表述为如下公式:3。3离散傅里叶变换的基本性质1线性性质若则2循环移位性质设是长度为的有限长序列,则的点循环移位定义为():循环移位的实现步骤:3循环卷积定理(重点)1)设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为式中,L称为循环卷积区间长度,L≥max[N,M]。2)循环卷积矩阵特点:(1)第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L-1)}的循环倒相序列。注意,如果x(n)的长度M〈L,则需要在x(n)末尾补L-M个零后,再形成第一行的循环倒相序列.(2)第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。(3)矩阵的各主对角线上的序列值均相等。循环卷积和线性卷积的区别线性卷积:翻折-〉乘加—>移位:y(n)=x(n)*h(n)=∑h(k)x(n-k)循环卷积:补零-〉周期延拓—〉翻折—〉循环移位—>对应值相加例:计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积.(重点)解:按照循环卷积矩阵写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为:..h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为【补充】①计算h(n)与x(n)的线性卷积?②哪一种情况下计算的循环卷积结果就等于线性卷积?【说明】当循环卷积区间长度L大于等于y(n)=h(n)