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在花拉子米的著作中,一个代数式中的项即可指数(包括无理数)也可指几何量,这正是优于希腊代数的地方。(4)花拉子米采取演算与论证并举的方式来阐述解方程的过程。(5)他在讨论了6种类型的方程后指出:通过“复原”与“对消”两种变换,可将其他形式的一次、二次方程化为这6种标准方程。(6)另一本著作《算术》介绍印度数码的计算方法,通过这本书,欧洲人才了解到印度的数码和记数系统。(7)放弃了符号(8)《算术》中给出了“0”,以及0在十进位制数值中的作用及其运算规则,书中除整数运算外,还包括分数及其运算。在叙述主要用于天文学的60进制分数运算法则的同时,也给出了普通分数的运算,不过他在通分时取分母的乘积为公分母,似乎也不会约分。·海雅姆——(1)有名的数学家和天文学家,也是著名的诗人和思想家。(2)与人合作编写的中世纪最精密的哲拉里历。(3)他的《代数学》比花拉子米的《代数学》有明显的进步。在这部著作中,他详尽的研究了三次方程的根的几何作图法,提出了利用圆锥曲线图形求解的理论,这是阿拉伯数学最大的成就之一。(4)在《代数学》中用圆锥曲线来解代数方程,是阿拉伯数学中最有创见的成就之一。,在欧洲的数学发展处于低潮时期,阿拉伯人在数学方面年取得了显著的成绩,虽然其创造性和深刻性比不上希腊数学,但相对于当时的欧洲和地中海地域来说,他们算得上最有学问的人了,更重要的是,他们担负起精神财富飞保存着和传输者的使命,把印度和希腊的数学传播到欧洲,对欧洲乃至整个世界数学的发展作出了巨大的贡献。,甲骨文已经成熟,中国当时已采用了“十进位值制记数法”,并有十、百、千、万等专用的大数名称,这是对世界数学最伟大的贡献。《韩诗外传》介绍,标志着乘除法运算法则成熟的“九九歌”在春秋时代已相当普及。,从春秋战国时期一直到元代末年,算筹在我国沿用了两千多年,——中国传统数学体系形成的背景:从汉代开始,中国的经济文化有了进一步的发展,经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础,特别是从秦代开始实施的文字与度量衡的统一、铁器的使用以及大量兴修水利工程和水陆交通的过程,为人们探索大自然的奥秘增强了动力,数学也有了长足的发展,其主要标志是《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成。《九章算术》稍早且流传下来的一部重要著作是《周髀算经》。该书原名《周髀》,大约成书于公元前2世纪的西汉时期,其许多内容甚至可以追溯到西周。唐代李淳风在为国子监明算科选定教科书时将其列入《算经十书》,并改名为《周髀算经》。严格的讲它并不是一本数学著作,而是一本介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作,但它包含了相当深刻的数学内容,其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用。。赵爽是中国历史上首次对《周髀算经》进行认真研究和注释的学者。他的主要工作是:一为文字解释;二为较详细的数学理论推演;三是补图。其中最为精彩的是“勾股圆方图注”。42.《九章算术》——(1)标志着中国传统数学理论体系形成的是《九章算术》的成书。该书的作者和成书年代难以确切的考证,多数学者认为,它成书于西汉末东汉初,即公元前1世纪初。中国的数学,经过长期的积累,到西汉时已有很丰富的内容,但这些内容之间缺乏内在的联系,以前人们曾寻求以确定的方立某种联系,例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数学概念,但没有成功。也许正是这种原因,决定了《九章算术》所特有的处理方式,并形成了中国传统的数学体系。(2)采用问题集的形式,共246个问题,基本上都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题。这些问题分别隶属于:方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。(3)注重实际问题和长于计算的特点,对中国传统数学的发展有着极其深刻的影响,可以说,与西方数学的演绎推理相映生辉的具有中国特色的算法体系的形成即始于《九章算术》。其成书后,便成为中国传统数学的经典,特别是唐代以来,经官方认证该书成为“算经十书”中最重要的一部,成为后来数学家们学****研究和著述的依据。——(1)刘徽的《九章算术注》对于阐发《九章算术》的思想方法,发展《九章算术》的理论,完善《九章算术》的体系,作出了杰出的贡献。(2)刘徽对《九章算术》中未加以论证的公式(方法)和原理加以证明或阐说,特别是对其中的经验公式或错误公式分别从理论上指出它的近或错误原度因,并提出一些理论推断。对于几何概念和命题,则借助于图形和应用代数与几何相结合的方法,进行一般论证或演绎推理。公元前263年,刘徽的《九章算术注》终于问世了,书中载录了刘徽在数学上的许多重要贡献。(3)在算术方面,阐发了《九章算术》中的分数理论,他的分数的意义、表示方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平,并以接近于近代的成熟程。度他把分数看作比,由此发展出“率”的概念,又在“率”的基础上提出了算术中的比例理论、盈不足方法等,成为中国传统算法理论的发展的重要基础,并传入印度、阿拉伯和欧洲,对于这些地区数学的发展发生了较大的影响。(4)在代数方面,他第一个给出了方程的定义并揭发了方程组的同解原理,对于正负数,刘徽的定义可以说是经典性的。他把正与负看作是相对存在的数的两种情况,从这一认识出发,刘徽在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法。他还运用平面与立体图形对中国古代的开平方法与开立方法做出了直观解释。此外,他由取平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法,不仅明显具有近代特征,而且比欧洲最早的小数——斯蒂文的小数记法早了1300多年。(5)在几何方面,刘徽的贡献尤为突出,他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者。他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明,这些方法包括“圆形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法”等,(6)刘徽的割圆术的基本思想是“化圆为方”;体积理论;球体积计算;勾股测量。,其最为突出的成就就是对圆周率值的推算。《隋书·律历志》记载着他对圆周率研究的成果∏≈,故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值:密率355/113;约率22/,推到完善,无懈可击;同时,祖暅还将其推到过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用的不可分量原理,总结提炼成一般的命题:“缘幂势既同,则机不容异”,即夹在两个平行平面的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,若所得截面总相等,则此二几何体体积相等。它被称为“祖暅原理”,这实际上也是西方数学界所谓的“卡瓦列里原理”。这一原理在西方直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列里发现,比祖暅晚1100多年。46.《算经十书》包括:《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》、《缉古算经》。:缩根、估根、减根、倍根。“增乘开方”尽管已经可以用于解高次方程,但贾宪本人却只是单纯地用它来处理开放问题,而且在他以及以前的中国数学家的论述中,由开方引出的方程其系数都是正数。虽然12世纪北宋学者刘益对方程系数必须为正的限制已经有所突破,并在他所著的《议古根源》一书中允许方程的系数为负数,但由于该书的亡失,其方法并没有流传下来。将“增乘开方”推广到高次方程一般情况的是南宋时期的数学家秦九韶。.“天元术”和“四元术”是什么?由谁发明的?P75(1)“天元术”的产生标志着中国传统数学发展到一个新的高度,这就是半符号代数的产生。由于高次方程数值解法的发展,必然引起人们对列方程方法的探求。据研究,这一先进的数学方法产生于12世纪,李冶的《测圆海镜》《益古演段》是现存最早的系统介绍和研究“天元术”的著作。(2)元代数学家朱世杰推广了“天元术”,提了出用“四元术”来解四元方程,可以说这是中国古代筹算术数学的顶峰。(3)朱世杰:杰的数学家和数学出教育家,精通《九章算术》。著有《算学启蒙》,《四元玉鉴》。其中《四元玉鉴》主要内容之一就是对多元方程的研究,给出了四元高次方程的一种固定记法,见书P76.(4)“四元术”中最精彩的就是所谓的“相消法”,即由该方程组经过变形得到一个一元的高次方程。其主要步骤是:剔而消之、互隐通分消之、内外相消三步。朱世杰的相消法是中国数学史上一项杰的出成就。在西方,由方程f(x,y)=0与g(x,y)=0消去一个未知数的方法是法国的贝佐特于1764年给出初步方案,1779年在《代数方程的一般理论》一书中才正式发表,比朱世杰晚了近500年,因此,美国科学史家萨顿称朱世杰是贯穿古今的一位最杰的数学家。出(5)这个时期比较著名的数学家还有博学多才的沈括,著有《梦溪笔谈》,被李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。——(1)追求实用(2)注重算法(3)·斐波那契。1202年,斐波那契综合阿拉伯和希腊资料著成一部重要著作在《算盘书》,共15章,主要介绍算术与代数,内容非常丰富。包括:印度-阿拉伯数码的读法与写法;整数与分数的计算;平方根与立方根的求法;线性方程组和二次方程的解法等,给出了数学在实物交易、合股、比例法和测量几何中的应用。、四次方程解法的研究。,一般四次方程的代数解法也被发现了。1540年,意大利数学家达科伊向卡当提了一个出可以导致四次方程求解的问题(把10分成3个数,使他们成连比,且前两数的乘积为6),这个问题最终由卡当的学生斐拉里解决。卡当在《***》一书中也详细的介绍了这个被称为“斐拉里方法”的解法。,尽管在今天已经是初中代数的一个最基本的内容,但在数学发展史上却是一件划时代的事情,他给数学思维插上了翅膀,使得原来在算术中许多需要极高技巧的算法变成了简单的机械性的操作,也为数学研究开拓了壮观的空间。因此,从某种意义上来说,用字母表示数标志着代数从算术中脱胎而出,成为一门独立的学科。。韦达在符号代数方面的贡献最为突出,在他的著作《分析方法引论》一书中,他第一个有意识地、系统的使用了字母。《分析方法引论》被公认是一部最早的符号代数的著作。。尔1614年,他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法。《几何学》包括他关于坐标几何和代数的思想。在这篇著作中,他首次明确地提出了点的坐标和变数的思想,并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线,这篇《几何学》的问世,是解析几何学产生的重要标志。。。