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[x]?xn?满足:x1=1,xn+1=4xn+?11xn?.求x2024的个位数.:..12.(20分)图G是指一个有序二元组?V,E?,其中V称为顶点集,,y的距离是指从x到y的最短路径的边数,记作d?x,y?.一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值,记作diam?G?,即diam?G?=max?d?x,y?∣x,y∈G?.记Zn={[0],[1],[2],?,[n-1]}是模n的剩余类,定义Zn上的加法和乘法,均是模n的加法和乘法,例如在Z12={[0],[1],[2],?,[11]}中:[3]+[4]=[7],[6]+[9]=[3];[3]?[4]=[0],[6]?[9]=[6].在Zn中,设[x]≠[0].若存在[y]≠[0]使得[x]?[y]=[0],则称[x]?Zn?.例如D?Z12?={[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]}.Zn的零因子图,记为Γ?Zn?,它是以D?Zn?为顶点集,两个不同的顶点[x],[y]之间有一条边相连当且仅当[x]?[y]=[0].下图是Γ?Z12?:对一切的整数n≥2,都有diam?Γ?Zn??≤3.:..2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题(2024年5月19日,8:30-9:50)一、填空题(本题满分64分,每小题8分)={1,2,3,5,6},b,c是实数,满足a+b+c=1,a+b+c=1,a≠0,-A1B1C1的侧棱长为4,底面边长为2,过点A的一个平面截此棱柱,1分别交于点M,N,若△MNA为直角三角形,则△??1??△ABC中BC=3,A=,BD=BC,,2,?,11中任取三个不同的数,,椭圆x+=1,直线l过1,0且与椭圆交于A,B两点,则△??,a=1,且对任意n∈N*,a=a2+a,求1的整数部分是.?n?110n+1nn?a+1n=-3x+4=0的三个复数根分别为z,z,z,则?z-z2??z-z2??z-z2?、解答题(本题满分56分)2y29.(16分)已知双曲线C:x-=1,直线l:y=kx+1与双曲线C的左右支分别相交于A,B两点,双曲线43C在A,B两点处的切线相交于点P,求△.(20分)已知函数fx=ex-1-x.??2ax-2x+1(1)当a=0时,讨论fx在-4,1上的极值.????2(2)若x=0是f?x?的极小值点,.(20分)设n是一个给定的正整数,集合S=??i,j?∣1≤i,j≤2n,i,j∈N*?,求最大的正数c=c?n?,使得对n任意正整数d,d,都存在集合S的子集P,2个元素,且集合P的任两个元素?i,j?,12n?k,l?均有?i-k2?+?j-l2?≠d,?i-k2?+?j-l2?≠:..2024年北京市高中数学联赛初赛一试考试时间:8:00-9:20一、填空题(1-8题每题8分,第9题16分,第10,11题每题20分,共120分)=?a1,a2,a3,a4,a5?,若A中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为B={-30,-15,-10,-6,-5,-3,2,6,10,15},则集合A={-30,-15,-10,-6,-5,-3,20,10,15},则集合A=.x+2,x<0;?x?=?1若关于x的方程f?f?x??=m恰有三个不相等的实数根x1,x2,x3且??ln?x+1?,x≥+9满足x1<x2<x3,?x2+4?,2,?,2024中任取两个数a,b?a≤b?,则3a+7b的值中,-10z+?3z-2i?=6,令z1=,则?z1?-5+7ix,若x为无理数;?x?=?q+1q*??,若x=,其中p,q∈N,且p,q互质,p>?x?在区间?,?>0,若非零实数a,b满足4a-2ab+4b-c=0,且使?2a+b?最大,则-+?x?=cosx+sinx+asin4x-b,且f?x+??x?+m=0在[0,π]上有四个6x1+x2+x3+x4不同的实数解x1,x2,x3,x4,则f???{1,2,?,2625},且A中任意两个数的差的绝对值不等于4,也不等于9,则?A?=x2024+cxi,其中c∈{-1,0,1}.记N为fx的正整数根的个数(含重根).若fx无负???ii????i=0整数根,-A1B1C1D1中,E为棱AA1上的一点,且A1E=1,F为截面A1BD上的动点,则AF+FE的最小值等于.?2n?!?an?定义如下:设写成既约分数后的分母为A?n?,an等于2A?n?的最大质因数,则ann!?n+2024?!的最大值等于.:..2024年北京市高中数学联赛初赛二试考试时间:9:40-12:301.(40分)设a,b,c是三个正数,求证:2a2b2c32?a+b+c?222+222+222≤+b+ca+2b+ca+b+2c5a+5b+5c+ab+bc+ca2.(40分)如图所示,锐角△ABC的三条高线AD,BE,CF交于点H,过点F作FG?AC交直线BC于点G,设△CFG的外接圆为⊙O,⊙O与直线AC的另一个交点为P,过P作PQ?DE交直线AD于点Q,连接OD,:OD=.(50分)有n个球队参加比赛,,并且组委会还发现任意挑出若干支球队,,.(50分)设a1,a2,?,an为n个两两不同的正整数且a1a2?,a2,?,an中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方,求n的最大值.:..2024年重庆市高中数学联赛初赛试题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????22024年浙江省高中数学联赛初赛试题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????32024年四川省高中数学联赛初赛试题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????42024年吉林省高中数学联赛初赛试题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????52024年广西省高中数学联赛初赛试题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????72024年内蒙古高中数学联赛初赛试题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????92024年北京市高中数学联赛初赛一试??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????102024年北京市高中数学联赛初赛二试??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????11:..2024年重庆市高中数学联赛初赛试题一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,-为纯虚数,则?z-1-i?的最小值为2-2(.其中i为虚数单位)z【答案】2-2?44?4?4?z+z?【解析】z-为纯虚数?z-=-z-??z+z=?.zz?z?zz?当z+z=0时,,?z-1-i?min=1;?当z+z≠0时,,则?z?=2,,此时?z-1-i?min=2-2<1,,当z=2?1+i?-x-1-1-1,?x?=2-2的反函数为y=f?x?,则不等式?f?x-1??<1的解集为?22?.【答案】-1,5?22?【解析】因为f?x?为R上单调递增的奇函数,,且值域为R,,所以f-1?x?-13315注意f?1?=,,故?f?x-1??<1?-<x-1<?-<x<.-1,3关于直线y=kx对称的点在圆x-22+y2=1上,则k=3.?22???【答案】3【解析】注意点A在圆x2+y2=1上,,且A关于直线y=kx对称的点必然在圆x2+y2=1上,,而圆x2+y2=1与圆?x-22?+y2=1仅有唯一公共点B?1,0?,,∠AOB=120°,,因此k=tan60°=3.????????????△ABC中,已知AB?AC=2BC?BA=3CA?CB,则△ABC最大角的正弦值为10.【答案】31010【解析】设△ABC的内角A,,B,,C所对的边分别为a,,b,,c,,由条件知2223a2+b2-c2b+c-a222??282292=a+c-b=,,解得b=a,,c=a,,故最大角为角C,,2255a2+b2-c210310由余弦定理得cosC==?sinC=.2ab1010an+1-anan+2-an+1*?an?满足a1=1,=?n∈N?,若a1a2+a2a3+?+a6a7=3,则a2024=+2【答案】62029an+1-anan+2-an+111211【解析】由=可得+=,,则数列????????????为等差数列,,首项为=1,,设公anan+2anan+2an+1ana1111差为d,,则a1a2+a2a3+?+a6a7=++?+=1+d?1+d??1+2d??1+5d??1+6d?1?1-1+1-1+?1-1?=6=3?d=1,,d?????1+d??1+d1+2d??1+5d1+6d?????1+6d6故1=1+2023=2029?a=,2,?,9这九个正整数构成的所有圆排列中,任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为21600.【答案】21600【解析】一个圆排列满足要求当且仅当该排列中8,,9与7,,,,9相邻的圆:..排列有N1个,,满足7,,9相邻的圆排列有N2个,,满足8,,9相邻且7,,9相邻的圆排列有N3个,,则N1=N=A2?7!,,N=A2?6!,,从而由容斥原理,,满足要求的排列的个数为N=8!-N+N-N=?123?⊥BC,BC⊥CD,AB=BC=CD=1,且异面直线AD与BC所成的角为60°,【答案】55π6【解析】由题设条件,,可将四面体补成直三棱柱ABD1-A1CD,,∠A1AD=60°,,AA1=1,,于是A1D=AD1=3,,又