文档介绍：非线性 方程求解
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非线性方程求解目录
§1 对分法
§2 迭代法 
迭代法的基本思想
迭代法的收敛条件
Steffensen方法——简单迭代 法的加速
§3 Newton法与弦截法
Newton法
弦截法
§4 抛物线法
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非线性方程求解概述
很多科学计算问题常
归结为求解方程:
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非线性方程求解概述(续)
例如,从曲线y = x和y = lg x的简单草图可看出方程
lg x + x = 0有唯一的正根x*,但是没有求x*的准确值的已知方法,即使是对代数方程,要求其精确解也是困难的。对于二次方程ax2 + bx+c = 0,我们可以用熟悉的求根公式:
对于三、四次代数方程,尽管存在求解公式,但并不实用。而对于大于等于五次的代数方程,它的根不能用方程系数的解析式表示,至于一般的超越方程,更没有求根公式。因此,为求解一个非线性方程,我们必须依靠某种数值方法来求其近似解。
对于方程(2-1)要求得其准确解一般来说是不可能的。
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求方程根近似解的几个问题:
求方程根的近似解,一般有下列几个问题:
3. 根的精确化:已知一个根的粗略近似值后,建立计算方法将近似解逐步精确化,直到满足给定精度为止。
设函数f (x)在区间[a,b]上连续,严格单调且 f (a ) f (b)<0,则在[a,b]内方程f (x) = 0有且仅有一个实根。
根据此结论,我们可以采用如下两种方法求出根的隔离区间。
:方程是否有根?如果有根,有几个根?
2. 根的隔离:确定根所在的区间,使方程在这个小区间内有且仅有一个根,这一过程称为根的隔离,完成根的隔离,就可得到方程的各个根的近似值。
关于根的存在性是纯数学问题,不详细介绍,可查阅有 关代数学内容。
根的隔离主要依据如下结论:
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求根的隔离区间的两种方法
1. 描图法:
画出y = f (x)的草图,由f (x)与x轴交点的大概位置来确定有根区间。也可利用导函数f (x)的正、负与函数f (x)的单调性的关系来确定根的大概位置。
例1 求f (x) = 3x 1 cos x = 0的有根区间
解:将方程变形为3x 1= cos x
绘出曲线 y =3x1及 y = cos x,
由图2-1可知,方程只有一个
实根:
y
x
x*
图2-1
例2
紧接下屏
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例2(续)
2. 逐步搜索法:
从区间[a,b]的左端点a出发,按选定的步长h一步步向右搜索,若:
则区间[ a+jh, a + (j +1) h]内必有根。搜索过程也可以从
b开始,这时应取步长h<0。
求出根的隔离区间后,就可采用适当的方法,使其进一步精确化。
解: 令f (x)=4x312x2 = 0,可得驻点x1 = 0, x2 = 3,由此而
得到三个区间(,0) (0,3),(3,), f (x)在此三个区间上的正负号分别为“”,“”,“+”,由此可见,函数f (x)在此三个区间上为“减”,“减”,“增”,并且因为f ()>0,
f (0)=1>0, f (3)= 26<0, f ()>0所以仅有二个实根,分别位于(0,3),(3,)内。又因f (4)=1>0,所以,二个隔根区间确定为(0,3),(3,4)。
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§1 对分法
设f (x)在区间[a, b]上连续,严格单调,且f (a) f (b)<0,不妨设f (a)<0, f (b)>0,则方程f (x) = 0在[a, b]内存在唯一实根,对分法的基本思想是:用对分区间的方法,通过判别函数f (x)在每个对分区间中点的符号,逐步将有根区间缩小,最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体步骤为:
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对分法(续)
若每次对分区间时所取区间中点都不是根,则上述过程将无限地进行下去,当n→∞时,区间将最终收缩为一点x*,显然x*就是所求方程的根。
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对分法的误差估计
作为x*的近似值,则误差为:
只要n足够大(即区间对分次数足够多),xn的误差就可足够小,且只要f (x)连续,对分区间总是收敛的。
式(2-2)不仅可以估计对分区间法的误差,而且可以给定的误差限估计出对分区间的次数,因为由式(2-2)有:
若取区间[an, bn]的中点:
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