文档介绍：线性代数
工程硕士数学复习
一、国家GCT考试—数学100分
25道选择题, 每题 4 分约在45分钟完成线性代数线性代数
内容:算术、初等代数、几何与三角、
2005年以后面解析几何、微积分、线性代数
2006年交大数学大纲中占40%
二、交大数学—考试时间180分钟
内容:微积分 60%
线性代数 40% 李世栋老师邮箱
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线性代数的考试内容
¾ 行列式
¾ 矩阵
¾ 线性方程组一行列式
¾ 向量的线性关系
¾ 特征值和特征向量
¾ 矩阵的相似与矩阵相似于对角阵的条件
今年交大数学线性代数部分除GCT内容外,增加了
向量组的正交化、实对称矩阵正交相似于对角矩阵
与实二次型等内容
线性代数的特点:概念多、抽象、计算较繁
但的线性代数计算不会很繁
3 GCT 4
一般的二元一次方程组的标准形式为 1 行列式的概念
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 二阶行列式
⎨(1) (1)
a x + a x = b
⎩ 21 1 22 2 2 定义 22个数排成两行两列的正方形数表,用记号
若 a11a22 − a12a21 ≠ 0
a11 a12
则方程组(1)存在唯一的解: 或 det A 或 D
a21 a22
b1a22 − b2a12
x1 = 表示对这4个数进行下列运算所得到的数
a11a22 − a12a21
b2a11 − b1a21 a11 a12
x2 = = a a − a a
a a − a a 11 22 12 21
11 22 12 21 a21 a22
——解完全由系数与常数项确定。要表达方程组
称为二阶行列式
的解与系数及常数项的关系, 引入二阶行列式
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线性代数
a a 【例】讨论 a 取何值时
11 12 = a a − a a
11 22 12 21 2a2 a − 2
a21 a22 = 0
几个名词: − 2 1
行列式的元素
【解】
行列式的行与列行与列的标号 2a2 a − 2
= 2a2 + 2(a − 2)
行列式的主对角线与次对角线− 2 1
二阶行列式是数, 它是 2! 项的代数和. = 2(a2 + a − 2)
每一项是取之于行列式两个不同行又是两个不同列
的两个元素的乘积. ⇒ a1 = −2 或 a2 = 1
一项前冠以正号,一项前冠以负号.
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(2) 三阶行列式
引入二阶行列式后, 二元一次方程组(1)的解
定义 32个数排成三行三列的正方形数表,用记号
可用行列式表示如下: ⎧a11 x1 + a12 x2 = b1
⎨ a a a
a a ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 11 12 13
若 11 12 ≠ 0 a a a 或 det A 或 D
b a − b a 21 22 23 3
a21 a22 x = 1 22 2 12
1 a a a
a11a22 − a12a21 31 32 33
b a a b b2a11 − b1a21 表示对这9个数进行下列运算所得的数
1 12 11 1 x2 =
a11a22 − a12a21
b2 a22 a21 b2 a a a
x = , x = 11 12 13
则 1 2 a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
a11 a12 a11 a12
a21 a22 a23 =
− a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31
a21 a22 a21 a22
a31 a32 a33
称之为三阶行列式
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三阶行列式是所有可能的取之于正方形数表中三个
aaa++ aaa aaa
不同行同时又是三个不同列的三个元素的乘积的代= 11 22 33 12 23 31 13 21 32
数和,三项前冠以正号,三项前冠以负号,共 3!项−−aaa11 23 32 aaa 12 21 33 − aaa 13 22 31
记忆方法: aaa11 12 13
aaa21 22 23
a11 a12 a13 a11 a12
aaa31 32 33
a21 a22 a23 a21 a22 -
a a a
31 32 33 a31 a32 +
c1 c2 c3 c1 c2
aaa11