文档介绍：工程硕士复习
上海交通大学数学系张忆
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第一节函数极限
§1 函数
一、定义 P129
例
, 为相同的函数。
例设f(x)在(-∞,+∞)有定义,且满足2f(x)+f(1-x)=x2
试求 f(x)的表达式。
即:
从
得:
2
2
y
y
x
x
e
e
x
e
e
y
-
-
-
=
-
=
与
证:令
2
例用分段函数表示下列函数
3
例设
求的定义域
解:
定义域[0,1]
4
例已知:
,且
求:
解: ∵
∴
据题意有
又:
从而有
定义域:
即 x≤0
且写出它的定义域
第一讲函数极限
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例求: 函数
的反函数
①
②
∴反函数
解:
①- ②
第一讲函数极限
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第一讲函数极限
二、函数的几种特性(P129)
1、单调性:f(x)区间I上有定义,
为I上任意两点。
, 如恒有
则称f(x)在I上单调增加(减少)
设
2、有界性
设函数y=f(x)在区间I上有定义。如存在M>0,使得
则称f(x)在区间I上有界,否则称f(x)在I上无界。
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第一讲函数极限
3、奇偶性:设f(x)的定义域Z关于原点对称,如恒有:
f(-x)=f(x) x∈Z,称f(x)为偶函数,图形对称y轴
f(-x)=-f(x) x∈Z,称f(x)为奇函数,图形对称原点
例:证明:
例:已知:
为奇函数,且当
时,
求:
在
时的表达式
解:
,
为奇函数
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第一讲函数极限
4、周期性
设函数f(x)的定义域为X,如存在常数T≠0,使得x∈Z时,
必有x±T∈Z,且恒有f(
)=f(x+T), x∈X,则称f(x)为周期函数,
使上式成立的最小正数T为该函数的周期。
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第一讲函数极限
三、初等函数
1、基本初等函数(P131)
(1) 常函数y=c(-∞,+∞)偶函数;
(2) 幂函数
定义域随u不同而不同,
(3) 指数函数
过(0,1)
是指数函数
(4) 对数函数
反函数常用性质
(
)
(
)
0
,
1
,
0
>
+¥
¥
-
¹
>
=
x
x
a
a
a
a
y
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