文档介绍：相似三角形
(一)比例的性质
:
此性质非常重要,要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法.
、分比性质:
:若则.
:若的比例中项.
注意:
(1)以上性质的证明和运用都可,用“设法”,这种方法是有关比例计算,变形中一种常用方法.
(2)应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,:;其中.
(二) 比例线段的有关定理
1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,
所得的对应线段成比例.
如图:已知
可得:
2、推论:
(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
由DE∥BC 可得:.
此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.
(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
说明:只要有图形中的,它一定是△ADE的三边与△ABC的三边对应成比例.
②注意:条件(平行线的应用)在作图中,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.
如:如图(1),已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC
3、定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形第三边.
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.
4、黄金分割
把线段分成两条线段,且使是的比例中项,叫做把线段黄金分割,点叫做线段的黄金分割点,其中≈.
(三)相似三角形
1、相似三角形的判定
①_________对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);
②_______对应成比例且_______相等的两个三角形相似;
③_________对应成比例的两个三角形相似;
④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.
若DE∥BC(A型和X(8字)型)则______________.
定理的基本图形:
用数学语言表述是:
2、直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理:若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)
则________∽________∽________, AC2=________,CD2=_______,BC2=__ ____.
3、相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等,,
一般用k表示.
(2)相似三角形对应______的比,对应______的比和对应________的比都等于相似比.
(3)相似三角形周长的比等于_________.
(4)相似三角形面积的比等于________________.
(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等.
4、相似三角形常见的图形
(1)若DE∥BC(A型和X型)则△ADE∽△ABC
(2)射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB,CD2=AD·BD,BC2=BD·AB;
(3)满足1、AC2=AD·AB,2、∠ACD=∠B,3、∠ACB=∠ADC,都可判定△ADC∽△ACB.
(4)当或AD·AB=AC·AE时,△ADE∽△ACB.
(四)相似多边形
1、如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,(相似系数).
2、相似多边形的性质
(1)相似多边形周长比,对应对角线的比等于相似比.
(2)相似多边形中对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比.
(3)相似多边形面积比等于相似比的平方.
注意:相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决,因此,熟练掌握相似三角形知识是基础和关键.
【典例精析】(2014中考节选)
1.【湖南怀化】如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点,则= .
2.【湖南长沙】如图,在△ABC中,DE∥BC,,△ADE的面积是8,则△ABC的面积为
3.【黑龙江农垦】在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2m,它的影子BC=,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,PM=,MN=,则木竿PQ的长度为
4、【辽宁本溪】如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,则CF等于( )