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数学归纳原理与最小数原理相互关系破解看上去颇为系统完整——作为基础的是闶——断定这两个原理孰强孰弱比唬荒芙鱿抻。琘,,籚表示任一个有关戈的命题中学数学杂志年第北京醒王树茗绪言。数学归纳原理是数学归纳法的根据,它断言:任何有关自然数的命题,如果对于妫颐康倍杂某个自然数妫加卸杂谧魑F渌娲拥淖匀皇齥也真,:如果某个由自然数组成的集合不空,,即认为两者可以相互推出,此说的源起可追溯到上一世纪四十年代出版冈峦的米小数原理“证明”数学归纳原理,这在事实上认可了等价说,因为前此十年以上出版的狄讶ㄍ证明了由数学归纳原理可以推出最小数原理,对等价说第一个予以确认的是前苏联于年出版的檬樵谛鹗隽死淄赱中的推理之后指出:“容易看到钚∈,这两个命题是等价的”.此说由于随后亩嘀忠氡韭叫霭娑úブ廖夜东欧并反馈到西方,年,我国一本与书问世,其中“自然数的性质”一节对等价说的叙述公理体系的五条公理,即:是自然数矗篜最初提法如此,后来已将怀,可参看;每个自然数都有一个确定的随从;非任何自然数的随从;袅礁鲎匀皇乃娲酉嗟龋蛘饬礁自然数相等;“由最小数原理推出数学归纳原理”以及新补充的“由数学归纳原理推出最小数原理”,此书的这一特色、它的多次重印和再版罱淮作为《数学小丛书》中的一册再版于年技大地促进了等价说在国内的广泛流行与深入人心,唯其如此,曾经多次有人提出:数学归纳法教学应先介绍最小数原理,,还有人借题发挥,强调最小数原理“是保证数学归纳法成立的基本性质”.然而,反对等价说的声音也一直存在,在国内,表达最突出的是最近十几年来流传很广的见其中附录一约按耸榱阶髡咧凰吹腫;前者指出:由最小数原理到数学归纳原理的推导“有在前提中已包含了结论的毛病”,后者则进一步断言:“事实上这两个原理是不等价的,给出的所有这类‘证明’都是错误的”,在国外,这种声音出现得更早,年发表的赋觯燃鬯邓谰莸牟皇ɡ淼那八奶浼亲鱌。歉盟条有所加强的情形亲鱌,这些意见都是有份量的,尤其是囊饧丫咏诘贸稣返慕峁猜想,还必须同时给出相应的证明欢庋慕果始终没有得出,,在讨论中假定读者具有数理逻辑的最初步知识,为了行文简便,数学归纳原理和最小数原理将分别记作蚼⑽:元词共五个,即表示自然数集合的“此后,凡无特别说明处,字母、ⅰ㈡荻贾窷中的任一个体,即任一自然数⒆魑L囟ㄗ匀皇摹”和“薄⒆魑L囟ǘT怂阕ㄓ梅诺摹”和“·”杂谑蚘执行这两种运算的结果分别写作石与戈·磷鳌傲隮的和”与“:公理琘÷石工剑琘辍戈算尸一与前一节提及的五条公理相比较,这里缺少开端的两条,原因是它们的内容已经含在此前对于元词的说明中;这里又多出来后面四条,则是由于将原先隐含在“加法”和“乘法一定义中的一些假设明文地列成了公理,正因为那些假设成了公理,而并·即并
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