文档介绍：圆的相关知识最好配以简单的****题掌握刘蕾老师整合
板块一:圆的有关概念
一、圆的定义:
1. 描述性定义:在一个平面内,线段绕它固定的一个端点旋转一周,另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆,其中固定端点叫做圆心,叫做半径.
2. 集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,顶点叫做圆心,定长叫做半径.
3. 圆的表示方法:通常用符号表示圆,定义中以为圆心,为半径的圆记作“”,读作“圆”.
4. 同圆、同心圆、等圆:圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆;能够重合的两个圆叫做等圆.
注意:同圆或等圆的半径相等.
二、弦和弧
1. 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦.
2. 直径:经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的倍.
3. 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
4. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,,读作弧.
5. 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
6. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
7. 优弧、劣弧:大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.
8. 弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
三、圆心角和圆周角
1. 圆心角:,每一份的弧对应的圆心角,.
2. 圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
3. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,的圆周角所对的弦是直径.
推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等.
板块二:圆的对称性与垂径定理
一、圆的对称性
1. 圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是经过圆心的任意一条直线.
2. 圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
3. 圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少角度,都能与其自身重合.
二、垂径定理
1. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2. 推论1:⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
⑵弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
⑶平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
3. 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
板块三:点与圆的位置关系
一、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有:点在圆上、点在圆内、点在圆外三种,这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定.
设的半径为,点到圆心的距离为,则有:
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
如下表所示:
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆