文档介绍：略论儒歇定理
摘要:,利用辐角原理得出儒歇定理,并通过对儒歇定理的3个条件“①函数、在D内解析且连续到边界C;②在C上,;③D是复平面上的一个有界区域;”.
关键词: 辐角原理儒歇定理亚纯函数解析函数零点极点
1 引言
,本文通过对儒歇定理的三个条件分别减弱得到的广义儒歇定理,.
2 关于儒歇定理主要结果及证明
辐角原理
设D是复平面上的一个有界区域,,它在C上每一点解析,且在在C上没有零点,则
这里及分别表示在D内零点及极点的总数,,它一定是的整数倍.
注:上面条件“在C上每一点解析且不为零”可以减弱为“连续到边界C且沿C有”.
由辐角原理可以推出重要的儒歇定理.
定理1 若D是复平面上的一个有界区域,其边境是C,函数、在D内解析且连续到边界;在C上,;则在D内,与的零点个数(几阶算作几个)相等.
证明由假设知与在C的内部解析,且连续到C,在C上有|
2
0
1
z2h
C
0
z
0
zzzzzzzzz在zzzzzzzz
这样一来,,于是由,下面只要证明
由关系式
,
根据条件在C上,|-1|=,点不会围着原点=
,
因此与的零点个数相等.
由儒歇定理可以得到下面两个定理:
定理2 若函数在区域D内解析,是的m级零点则对于充分小的,存在,使得对于圆内的每一个A,函数-A在内恰有m个零点. 证明是函数的m级零点,由零点孤立性,存在,使得在属于D的闭圆上,除去外没有其他的零点,在上
于是对于内的任意A,当时, ,
即
由儒歇定理,-A 和,在圆内有相同个数的零点,在内恰有m个零点.
定理3 若函数列在区域D内是解析的,并且在D内闭一致收敛到不恒为零的函数,是D内可求长简单曲线,其内部属于D,且不经过的零点,则存在正整数N,使得当时,在内部和有相同个数的零点.
证明首先,由W eierstrass定理知,,所以
另一方面,在上一致收敛到,所以存在正整数N,使得当时,在上
于是,当时,在上.
由儒歇定理,在内部,()和有相同的零点个数.
儒歇定理的推广
儒歇定理要求的条件有点苛刻,下面对定理进行了推广,先给出如下定义.
定义:对于扩充复平面上的两点a,b,曲线C属于扩充复平面,称C不分割a,b点,是指存在连接a,b的曲线C,使
定理4 设D是复平面上的一个有界区域,、在D内亚纯连续到边界C,在C上没有零点,记,如果L不分割0与∞点,则f与g在D内的零点个数与极点个数之差相等,即
证由不分割0与∞点及在C上没有零点可知,在C上,,于是及都满足辐角原理及其注的条件,故有
于是只要证
又
而由不分割0与∞点
可得
所以
此定理的条件与经典儒歇定理的条件相比较弱,可将它的条件适当加强,从而得到下面两个特例.
定理5 设D是复平面上的有界区域,、在D内亚纯连续到边界C,沿C有,,则与在D内的零点个数与极点个数之差相等,即
.
证由题设条件,函数、在D内亚纯连续到边界C,且沿C有
>0
即与在边界C上没有零点.
根据条件,当z沿C变动时,曲线全在圆周的内部,而原点又不在圆周内部即不分割0与∞,由定理4知,与在D内的零点个数与极点个数之差相等.
定理6 设D是复平面上的一个有界区域,、在D内解析且连续到边界C,在C上没有零点,记如果L不分割0与∞点,则与在D内零点个数相等.
证解析函数是亚纯函数的特例,所以有定理6成立.
因儒歇定理的条件等价于
可见儒歇定理又是本定理的特例.
若将条件再加强,则可得到如下两个更强的特例.
推论1 设D是复平面上的一个有界区域,、在D内解析且连续到边界C,在C上没有零点,如果在边界C上,以下条件之一成立
(1);(2) ;
(3);(4);
则f与g在D零点个数相等.
证只证(1)(1)成