文档介绍：第四章解析函数的幂级数表示法
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n=1∞αn=α1+α2+…+αn+…
fz=n=1∞fn(z)
1.()复级数收敛的充要条件:实部虚部分别收敛。
2.()复级数收敛的充要条件(用定义):对任给的ε>0,存在正整数N(ε),当n>N且p为任何正整数时,
|αn+1+αn+2+…+αn+p|<ε
注1:收敛级数通项必趋近于零;
注2:收敛级数各项必有界;
注3:级数省略有限个项不改变敛散性。
3.()n=1∞|αn| → n=1∞αn收敛
4.()
(1)绝对收敛的复级数可任意重排,不改变收敛性,不改变和;
(2)两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积(柯西积)级数,也绝对收敛于s1s2。
:对任给的ε>0以及给定的z∈E,存在正整数N=N(ε,z),当n>N时,有
fz-snz<ε
式中snz=k=1∞fk(z)
7.( 柯西一致收敛准则):级数n=1∞fn(z)收敛的充要条件是:任给ε>0,存在正整数N=N(ε),使当n>N时,对一切z∈E,均有
|fn+1(z)+fn+2(z)+…+fn+p(z)|<ε
8.(’不一致收敛准则):
9.(优级数准则):如果有正数列Mn,使对一切z∈E,有|fn(z)|≤ Mn,且正项级数n=1∞Mn收敛→复级数n=1∞fn(z)在集E上绝对收敛且一致收敛。
:n=1∞Mn称为n=1∞fn(z)的优级数。
11.()级数n=1∞fn(z)各项在点集E上连续,且一致收敛于f(z),则和函数fz=n=1∞fn(z)也在E上连续。
12.( 积分求和符号可交换)级数n=1∞fn(z)的各项在曲线C上连续,且一致收敛于f(z),则沿C可逐项积分
Cfzdz=n=1∞Cfnzdz
:有界闭集上一致收敛
14.()n=1∞fn(z)在圆K:|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件:
对任意正整数ρ,只要ρ<R,级数n=1∞fn(z)在闭圆Kρ:z-a≤ρ上一致收敛。
15.( 魏尔斯特拉斯定理):设(1)函数n=1∞fn(z) (n=1,2,…)在区域D内解析;(2)n=1∞fn(z)在D内内闭一致收敛于函数f(z):
fz=n=1∞fn(z)
则:
(1)f(z)在D内解析;
(2)f(p)z=n=1∞fn(p)(z)
(3)n=1∞fn(p)(z)在D内内闭一致收敛于f(p)z
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n=(z-a)n=c0+c1z-a+c2(z-a)2+…
1.( 阿贝尔定理):幂级数在某点z1(≠a)收敛→它必在
圆K:|z-a|<|z1-a|(以a为圆心,圆周通过z1的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛。
2.():幂级数在某点z2(≠a)发散→在以a为圆心,圆周通过z2的圆周外发散。
:圆周内部绝对收敛,圆周外部发散。
4.( 收敛半径R的求法柯西-阿达马公式):(不能缺项)如果幂级数n=(z-a)满足:
limn→∞cn+1cn=l
或limn→∞|=l
或limn→|=l
则幂级数n=(z-a)n的