文档介绍：数列专题一等差数列
【知识概要】
1、等差数列的定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
2、等差中项:
如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项即:或
在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
3、等差数列的判定方法:
(1)定义法:对于数列,若(常数),则数列是等差数列。
(2)等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列。
4、等差数列的通项公式:

5、等差数列的前n项和:

6、等差数列的性质:
(1)对于等差数列,若,则
(2)对于等差数列,若,则
(3)若数列是等差数列,是其前n项的和,,那么,,成等差数列。
【数学思想】
等差数列的基本运算中涉及的数学思想方法有:函数与方程的思想,转化与化归的思想。
【典例分析】
例1、一个等差数列前4项的和是24,前5项的和与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通项公式.
分析:将已知条件转化为数学语言,然后再解.
解:根据题意,得=24, -=27
则设等差数列首项为,公差为d,
则
解之得: ∴=3+2(n-1)=2n+1.
(方程思想)
例2、等差数列{}中,++=-12, 且··=80. 求通项
分析:要求通项,仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式,欲求某项必须消元(项)或再弄一个等式出来
解:+=2

=-10, =2 或=2, =-10
∵ d= ∴ d=3 或-3
∴=-10+3 (n-1) = 3n- 13 或=2 -3 (n-1) = -3n+5
(灵活运用等差数列性质减少计算量)
例3、在等差数列{}中, 已知++++=450, 求+及前9项和.
解:由等差中项公式:+=2, +=2
由条件++++=450, 得
5=450, =90,
∴+=2=180.
=++++++++
=(+)+(+)+(+)+(+)+
=9=810.
(灵活运用等差数列性质减少计算量)
例4、在等差数列中若,, 求.
解:∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……
∴……
∴+2
∴=2-
=2×80-30=130
(整体代换的思想)
例5、如果一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27,求公差;
分析:等差数列的奇数项成等差数列,偶数项也成等差数列,等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量,只要知道其中三个,就可以求其它两个,而是基本量.
解:设等差数列首项为,公差为d,则
(方程思想,子数列)
例6、已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为,求这5个数.
解:设三个数为a,公差为d,则这5个数依次为a-2d,a-d ,a ,a+d ,a+2d依题意:
(a-2d)2 +(a-d)2 + a2 + (a+d)2 + (a+2d)2 =
且(a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 5
即 a2+2d2 = 且 a=1
∴