文档介绍：、圆的位置方程
哈三中网校付老师
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知识要点讲授
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知识网络梳理
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规律方法总结
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易误问题警示
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数海拾趣
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知识要点讲授
直线与圆的位置关系
直线与圆有三种位置关系,判断直线与圆的位置关系有两种方法:
一种方法是代数法,即判断直线l的方程与圆C的方程联立组成的方程组是否有解,利用判别式△=b2-4ac判断.
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判别式
△=b2-4ac
△>0有两个交点直线与圆相交
△=0只有一个交点直线与圆相切
△<0没有交点直线与圆相离
另一种方法是几何法,即判断圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系
d<r直线与圆相交
d=r直线与圆相切
d>r直线与圆相离
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知识要点讲授
直线与圆的位置关系
(2)直线与圆相交时,应充分利用弦心距、半径及弦长的一半
组成的直角三角形来解决问题
(3)有关直线与圆的位置关系的三类基本问题
①判断位置关系,方法是比较d与r的大小
②求切线方程
③求弦长,一般利用勾股定理与垂径定理求解
另外,当直线与圆相交时,过两交点的圆系方程为
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知识要点讲授
拓展应用
(1)切线方程的求法
①已知圆x2+y2=r2,则过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为
xx0+yy0=r2
②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是
(x-a)(x0-a)+ (y-b)(y0-b)=r2
③斜率为k且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为
斜率为k且与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切的切线方程的求法: 可以设切线方程为y=kx+m,然后化成一般式kx-y+m=0,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m
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知识要点讲授
(3)切点弦方程
过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)引圆的两条切线,切点分别为
A,B,则过两点A,B的直线方程(切点弦方程)为xx0+yy0=r2
(4)弦长公式
拓展应用
拓展应用
④点(x0,y0)在圆外,则过(x0,y0)的切线必有两条,可设
切线方程为y-y0=k(x-x0)
利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值,若求得的斜率只
有一个时,则还有一条斜率不存在的直线,需要补上另一条切
线x=x0
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知识要点讲授
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种,即外离、外切、相交、内切、内含,
其具体的判定方法有两种:
代数法:圆C1与圆C2有几个公共点由它们的方程组成的方程组有
几个实数解来确定
几何法:由圆心距d=|C1C2|与两圆的半径和或半径差的绝对值的
大小关系来确定
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知识要点讲授
设两圆的半径分别为R,r,R≧r,圆心距为d,则两圆的位置关
系可用下表来判断
位置关系
几何特征
代数特征
外离
d>R+r
无实数解(△<0)
外切
d=R+r
一组实数解(△=0)
相交
R-r<d<R+r
两组实数解(△>0)
内切
d=R-r
一组实数解(△=0)
内含
d<R-r
无实数解(△<0)
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知识要点讲授
利用代数法判断两圆的位置关系时,注意条件的不等价性:
即两圆外离<≠>△<0,应是两圆外离=> △<0, △<0两圆外离或内含。同理,两圆外切、内切△=0,两圆相交△>0
两圆相切时,两圆心所在直线经过切点,外切时有3条公切线,内切时有1条公切线
两圆外离时有4条公切线,两圆相交时有2条公切线,两圆连心线垂直平分公共弦
圆与圆的位置关系
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知识要点讲授
两圆相交(相切)有两个(一个)交点,经过这些交点可作无穷多个圆,这无穷多个圆可组成一个圆系,常见的圆系方程有以下几种:
①以(a,b)为圆心的同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=k2(k≠0)
②与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+K=0
③过定点(a,b)为圆系方程为(x-a)2+(y-b)2+λ1(x-a)+λ2(y-b)=0
④过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为
(x-a)2+(y-b)2+λ( Ax+By+C)=0
⑤过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程
为 x2+y2+D1x+E1y+F1+ λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠1)(其中不含圆C2)
当λ=-1时,l:(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0为两圆的公共弦所在直线的方程,
当两圆相切时,l为过两圆切点的直线的方程.
拓展应用