文档介绍：均值不等式求最值策略

应用平均值不等式求最值时,要把握平均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。忽略了任何一个条件,就会导致解题失败,若出现问题,又怎样另辟蹊径,寻求新方法来求最值呢?本文提出一些思路。
1. 调整符号,化负为正,使之适合“一正”条件,过第一关
例1. 已知,求函数的最值。
解:因为
所以
故
所以
当且仅当,即或时,等号成立,但不合条件,舍去,故当时,
2. 拆添配凑,变动为定,使之适合“二定”条件,过第二关
利用均值不等式求最值,变形构造出“定值”是难点,其方法如下:
(1)变形法
例2. 求函数的最小值。
解:因为
所以
故
当且仅当,即时,
(2)配凑法
例3. 已知,求函数的最小值。
解:因为
则有
所以
当且仅当,即时,
3. 分离常数
(1)拆项法
例4. 当时,求的最小值。
解:因为
所以
所以
当且仅当,即取等号
另一解(舍去)
所以
(2)倒数法
例5. 若,求函数的最大值。
解:因为
所以
故
(3)平方法
例6. 已知,求函数的最大值。
解:
由于所以
当且仅当时取等号,所以
4. 化归转化,寻求相等,过第三关
例7. 设,求的最小值。
解:因为
当且仅当,即时取等号
所以
点评:若与分别利用平均值不等式,再相乘求最值,问题出现在:前后取等条件不一致。
例8. 已知,且,求的最小值。
解:因为,且
所以
5. “三关”难过,前进受阻,应另辟蹊径
(1)利用代数、三角换元
例9. 若a,b为正实数,且,求的最小值。
解:因为,且
所以可设
则
当且仅当,即时取等号,这时,满足,所以
(2)引入参数,巧渡难关
例10. 已知,且,求P=x+y的最小值。
解:设,由已知有
所以
欲取等号,当且仅当时,有
代入中,此时
所以
说明:请读者用三角换元解此题,可令
(3)利用函数单调性
例11. 求的最小值。
解:设
则
易知
在上单调递增,所以时,
此时
即时,