文档介绍：利用相关点法巧解对称问题
对称问题在高考试题中经常出现,常见的有中心和轴对称两种。尽管试题年年翻新,情境不断变化,甚至不落俗套,但经研究可以发现,其解法的普遍规律还是可以归纳总结的。笔者认为,图象对称的原始基础是图象上点与点之间的对称,因此,抓住对称点之间的数量关系及其内在联系,可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言。代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法,亦简称相关点法。下面通过一些实例加以说明。
一. 函数中的对称问题
例1 (2001年高考)设是定义在R上的偶函数,其图象关于直线对称。证明是周期函数。
证明:设(x,y)为图象上任意一点,则其关于的对称点可求得:,于是根据函数关系有:,又因为是定义在R上的偶函数,故有:,因此结合上式有:,故由知:是周期函数,。
例2 (1997年高考文)设是定义在R上的函数,则函数与的图象关于( )
A. 直线对称 B. 直线对称
C. 直线对称 D. 直线对称
解:可设(x1,y)为上任意一点,则有;
若(x2,y)为上一点,也有,一般地,由
可知:,所以,即(x1,y)与(x2,y)关于直线对称,故选(D)。
评注:例1是一个函数图象本身内在对称问题,例2是两个函数图象之间的对称问题,尽管问题情境不同,但解法有相通之处,均可抓住对称点(即相关点)加以讨论。
二. 三角函数中的对称问题
例3 (2003年高考江苏卷)已知函数是R上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求的值。
解:由是偶函数,得
即
所以
对任意x都成立,且,所以得
依题设,所以解得,这时
由的图象关于点M对称,可设P(x,y)是其图象上任意一点,P点关于的对称点可求得为:
即有,(*)
取x=0,得,所以,
所以
所以
当时,上是减函数;
当时,在上是减函数;
当时,上不是单调函数;
所以,综合得
评注:本题是三角函数中含有中心对称问题,抓住对称点之间的中心对称关系,利用中点坐标公式求出对称点(或称相关点),寻求两相关点(对称点)之间的函数等量关系(见*)是解决问题的关键。
三. 解析几何中的对称问题
例4 设曲线C的方程是,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1
(I)写出曲线C1的方程;
(II)证明曲线C与C1关于点对称;
(I)解:曲线C1的方程为:
(II)证明:在曲线C上任取一点B1(x1,y1)。设B