文档介绍：例谈解题中“主元思想”的应用
在数学解题中常用到“主元思想”,所谓“主元思想”,即是指在含有两个或两个以上字母的问题的解决过程中,选择其中一个字母作为研究的主要对象,视为“主元”,而将其余各字母视作参数或常量,“主元”、选择“主元”,在多变量问题的解题中一旦选对了“主元”,等价于战斗中选择准了主攻方向.
下面利用两道例题的分析和解题研究来简单介绍一下应该如何运用“主元思想”和如何选择解题中的“主元”:
[例1]设不等式mx2—2x-m+1﹤0对满足︱m︱≤2的一切m都成立,求x的取值范围.
[分析1]可以将原不等式化为(x2-1)m﹤2x-1①,采用分离变量法,视为主元,通过讨论x2-1的符号来求解.
[解答1](1)当x2-1=O即x=±1时,①成立2x-1﹥O,∴x=1;
(2)当x2-1﹥0即x﹤-1或x﹥1时,由①式得m﹤,
由题意知﹥2,由此得不等式组,解得1﹤x﹤;
(3)当x2—1﹤0即-1﹤x﹤1时,由①得m﹥,
由题意知﹤-2,由此得不等式组,解得﹤x﹤1;
综上可知:﹤x﹤.
[分析2]视m为主元,将原不等式看成关于m的不等式,进而将不等式的左边看成关于m的函数,利用函数的性质解题.
[解答2]设f(m)=(x2-1)m+1-2x,
则︱m︱≤2时,恒有f(m)﹤0,
∴,解得.
[点评]上述两种解法都运用了“主元思想”,但从解题过程来看,,若能稍微改变一下思维习惯,在含有多个变量的问题中,合理运用“主元思想”,优先考虑如何选择主元是十分必要的.
[例2]设a、b、c、d是实数,且满足(a+b+c)2≥2(a2+b2+c2)+4d,求证:ab+bc+ac≥3d.
[分析]原不等式为关于a、b、c的对称轮换式,若能证明ab≥d,则同理可证bc≥d,ac≥d,,谁可以作为主元?由于题设中的不等式可变形为c2-2(a+b)c+a2+b2-2ab+4d≤0,从变形的结构形式看,此时可以视c为主元,构造函数f(x)=x2-2(a+b)x+a2+b2-2ab+4d,进而通过研究该函数的性质来帮助寻找与的不等关系.
[解答]如分析中所设,易知f(x)是开口向上的抛物线,
∵f(c)≤0,从而抛物线与x轴有交点,
∴△=4(a+b)2-4(a2+b2-2ab+4d)≥0,即 ab≥d,
同理,若分别视a、b为主元,则可证得bc≥d,ac≥d,
∴ab+bc+ac≥3d,证毕.
[点评]对于含有多个变量的等式或不等式,可以运用“主元思想”来指导对式子的整理和变形,从多个变元中选择出一个作为主元,可以使我们的研究目标更加清晰,以便于在纷繁复杂的关系中理出头