文档介绍：第一章高中数学解题基本方法
配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、(a+b)=a+2ab+b,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:
a+b=(a+b)-2ab=(a-b)+2ab;
a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+)+(b);
a+b+c+ab+bc+ca=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]
a+b+c=(a+b+c)-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)-2(ab-bc-ca)=…
结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:
1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα);
x+=(x+)-2=(x-)+2 ;……等等。
Ⅰ、再现性题组:
1. 在正项等比数列{a}中,asa+2asa+aa=25,则 a+a=_______。
2. 方程x+y-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。
A. <k<1 B. k<或k>1 C. k∈R D. k=或k=1
3. 已知sinα+cosα=1,则sinα+cosα的值为______。
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0
4. 函数y=log (-2x+5x+3)的单调递增区间是_____。
A. (-∞, ] B. [,+∞) C. (-,] D. [,3)
5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x,则点P(x,x)在圆x+y=4上,则实数a=_____。
Ⅱ、示范性题组:
例1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 2 B. C. 5 D. 6
例2. 设方程x+kx+2=0的两实根为p、q,若()+()≤7成立,求实数k的取值范围。
Ⅲ、巩固性题组:
函数y=(x-a)+(x-b) (a、b为常数)的最小值为_____。
A. 8 B. C.
α、β是方程x-2ax+a+6=0的两实根,则(α-1) +(β-1)的最小值是_____。
A. - B. 8 C. 18
已知x、y∈R,且满足x+3y-1=0,则函数t=2+8有_____。
化简:2+的结果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4-4cos4 C. -2sin4 D. 4cos4-2sin4
5. 设F和F为双曲线-y=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠FPF=90°,则△FPF的面积是_________。
6. 若x>-1,则f(x)=x+2x+的最小值为___________。
7. 已知〈β<α〈π,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值。
8. 设二次函数f(x)=Ax+Bx+C,给定m、n(m<n),且满足A[(m+n)+ mn]+2A[B(m+n)-Cmn]+B+C=0 。
解不等式f(x)>0;
②是否存在一个实数t,使当t∈(m+t,n-t)时,f(x)<0 ?若不存在,说出理由;若存在,指出t的取值范围。
9. 设s>1,t>1,m∈R,x=logt+logs,y=logt+logs+m(logt+logs),
将y表示为x的函数y=f(x),并求出f(x)的定义域;
若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实根,求m的取值范围。
二、换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,