文档介绍：静电场边值问题·唯一性定理
静电场的求解可分为两类:
Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem
第一类问题:场源问题
已知空间电荷分布,求电场分布或电位
直接求积分方程
应用场---源关系式或高斯定理计算
第二类问题:边值问题
直接求微分方程
已知电场强度或电位,求电荷分布,这类问题归结为求解给定边界条件的电位微分方程的解。
体电荷
介质分界面上的自由电荷
导体表面的自由电荷
1. 静电场的边值问题(Boundary Problem)
边值问题
场域边界条件(待讲)
分界面衔接条件
强制边界条件有限值
自然边界条件有限值
微分方程
边界条件
初始条件
泊松方程
拉普拉斯方程
场域边界条件
1)第一类边界条件(狄里赫利条件,Dirichlet)
2)第二类边界条件(聂以曼条件 Neumann)
3)第三类边界条件
已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
已知边界上导体的电位
已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度或
电力线)
有限差分法
有限元法
边界元法
矩量法
积分方程法
积分法
分离变量法
镜像法、电轴法
微分方程法
保角变换法
计算法
实验法
解析法
数值法
实测法
模拟法
边
值
问
题
求解边值问题注意事项:
存在,决定电位满足泊松方程还是拉氏方程,然后判断场域是否具有对称性,以便选择适当的坐标系。
,并利用它们确定通解的待定常数。
(或以上)的均匀介质区域,应分区求解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4个积分常数,还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。
,还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有限分布时,应有:
即:至少按一次方反比变化,通常可简单取
自然边界条件
试写出图示静电场的边值问题。
例
解
S1 100V
S2 50V
大地以上空间:
例列出求解区域的微分方程
图三个不同媒质区域的静电场
例平板电容器的极板间有两层介质,第一层介质厚度d1=,介电常数ε1= ε0,第二层介质的厚度d2=,介电常数ε2= 2ε0,极板的尺寸远大于d1、d2,如图所示。设两极板间的电压为U0=110V,求两极板间电位及电场强度的分布。
解: 场域空间有两种不同介质,要分成两个区城来研究。令介电常数为1的区城中的电位为φ1,介电常数为2的区域中的电位为φ2 ,它们分别满足拉普拉斯方程。由于极板的尺寸远大于d1、d2 ,则电位仅为横坐标坐标的函数,建立直角坐标系
相应的定解条件
边值方程