文档介绍：该【微分几何-陈维桓-习题答案2 完整版4585 】是由【小屁孩】上传分享，文档一共【9】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【微分几何-陈维桓-习题答案2 完整版4585 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。?{(x,y,z)|x2?y2?z2?1}上,命N?(0,0,1),S?(0,0,?1).对于赤道平面上的任意一点p?(u,v,0),可以作为一的一条直线经过N,p两点,它与球面有唯一的交点,记为p?.<1>证明:点p?的坐标是2u2vu2?v2?1x?,y?,z?,u2?v2?1u2?v2?1u2?v2?1并且它给出了球面上去掉北极N的剩余部分的正则参数表示;<2>求球面上去掉南极S的剩余部分的类似的正则参数表示;<3>求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换;<4>.<1>设r(u,v)?Op?.如图,N,p,p?三点共线,故有t?使得Op??tOp?(1?t)ON.<1>由于Op??1?ON2,Op2?u2?v2,Op??ON?0,t?0,取上式两边的模长平方,得t?2/(u2?v2?1).从而?2u2vu2?v2?1???,,?,(u,v)?2.<2>?u2?v2?1u2?v2?1u2?v2?1?由<1>可知r?Op??tNp?ON?t(u,v,?1)?(0,0,1)?(tu,tv,1?t),又dt??t2(udu?vdv),所以r??t2u(u,v,?1)?t(1,0,0),r??t2v(u,v,?1)?t(0,1,0),uv??t2(tu,tv,t(u2?v2)?1)??t2(tu,tv,1?t)??t2r?0.<3>因此r?r(u,v)给出了S2\{N}的正则参数表示.<2>令q?(u,v,0)是S,p?,有Op??tOq?(1?t)OS?(tu,tv,t?1),t?2/(u2?v2?1),?2u2v1?u2?v2?r?(x,y,z)?Op???,,?,(u,v)?2.<4>?u2?v2?1u2?v2?1u2?v2?1?r??t2u(u,v,1)?t(1,0,0),r??t2v(u,v,1)?t(0,1,0),uv?t2(tu,tv,1?t(u2?v2))?t2(tu,tv,t?1)?t2r?0.<5>因此<4>给出了S2\{S}的正则参数表示.<3>由<2>和<4>式可得(u2?v2)(u2?v2)?1,从而上面两种正则参数表示在公共部分S2\{N,S}上的参数变换公式为uvu?,v?.<6>u2?v2u2?v21/9由<3>和<5>可知?(u,v)t2(u2?v2?1)21???????0.?(u,v)t2(u2?v2?1)2(u2?v2)2所以参数变换是可允许的,,令z?u?iv,w?u?iv,则上面的参数变换可写成w?1/.<4>在S2\{N}上采用<1>式给出的正则参数表示,在S2\{S}上采用正则参数表示则在公共部分的参数变换公式为u?vu?,v?.<4>u2?v2u2?v2由于?S2\{N},S2\{S}?构成S2的开覆盖,并且?(u,v)v2?u22uv1?(u2?v2)2(u2?v2)2??0,?(u,v)?2uvv2?u2(u2?v2)2(u2?v2)2(u2?v2)2所以S2是可定向的.□x2y2z2x2y25写出单叶双曲面???1和双曲抛物面2z??.<1>对单叶双曲面,取腰椭圆a(u)?(acosu,bsinu,0),u?(0,2?)(u)??aX(u),bY(u),cZ(u)?.则直纹面的参数方程为r(u,v)?a(u)?vl(u)??a(cosu?vX(u)),b(sinu?vY(u)),cvZ(u)?.由于r(u,v)的分量满足单叶双曲面的方程,可得(cosu?vX(u))2?(sinu?vY(u))2?(vZ(u))2?1,?v?.由v得任意性得到cosuX(u)?sinuY(u)?0,X2(u)?Y2(u)?Z2(u).因此X(u):Y(u):Z(u)??sinu:cosu:?(u)???asinu,bcosu,c?得r(u,v)??a(cosu?vsinu),b(sinu?vcosu),cv?,(u,v)?(0,2?)?.<2>对双曲抛物面,令x?a(u?v),y?b(u?v),则z??(au,bu,0)?v(a,?b,2u)?(av,?bv,0)?u(a,b,2v),(u,v)?:一个正则参数曲面S是球面?."?"设S是球面,参数方程为r(u,v),球心为a,(r(u,v)?a)2?R2,?u,v?D.<1>微分可得r(r?a)?0,r(r?a)?0.<2>uv所以(r?a)//r?r,从而r?a??r?r,即有函数???(u,v)使得uvuv2/9a?r(u,v)??(u,v)[r(u,v)]?[r(u,v)].<3>uv这说明球心a在它的所有法线上."?"???(u,v)使得<3>式成立,即有r?a??r?,r作内积,可得<2>.这说明d(r?a)2?0,从而<1>式成uvuv立,其中R?0<否则S只是一个点,不是正则曲面>,以R为半径的球面,或球面的一部分.□:一个正则参数曲面S是旋转面?."?"设S是旋转面,(u,v)??f(v)cosu,f(v)sinu,g(v)?,(f(v)?0).因为r?f(v)??sinu,cosu,0?,r??f?(v)cosu,f?(v)sinu,g?(v)?,uvr?r?f(v)?g?(v)cosu,g?(v)sinu,?f?(v)?,uv所以S上任意一点r(u,v)处的法线N的参数方程为X(t)?r(u,v)?t[r(u,v)?r(u,v)].uv由于z轴的参数方程为Y(s)?s(0,0,1)?sk,并且f(v)cosuf(v)sinug(v)?r,r?r,k??f(v)g?(v)cosug?(v)sinu?f?(v)?0,,则(r?r)//k,从而g?(v)??g(v)?,旋转面S的所有法线都与z轴相交."?"通过选取坐标系,(u,v)?(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)?,S的所有法线都与z轴相交,所以法线不能与z轴平行,即??(y,z)?(x,z)?(x,y)?r?r??,?,?//(0,0,1),?(u,v)???(u,v)?(u,v)?(u,v)?00(u,v)00?(y,z)?(x,z)?(y,z)因此,(u,v)点邻近??(u,v)?(u,v)00?(u,v)(u,v)(u,v)0000参数变换,曲面的参数方程可以写成r(u,v)?(x(u,v),u,v),(u,v)?D.<1>于是r??x,1,0?,r??x,0,1?,r?r??1,?x,?x?.uuvvuvuv因为所有法线都与z轴相交,?r,r?r,k??0,即有xx?u???u2?f2(v),其中f(v)??f(v)cos?,v??f(v)sin?,S的参数方程<1>可以改写为r(?,v)?(f(v)sin?,f(v)cos?,v).这是一个旋转面,由yOz平面上的母线y?f(z)绕z轴旋转而得.□3/?(vcosu,vsinu,v),C:u?2t,v?et是S上的一条曲线.<1>将曲线C的切向量用r,r的线性组合表示出来;uv<2>证明:<1>??etcos(2t),etsin(2t),et??et?cos(2t),sin(2t),1?.C的切向量为<2>?(?vsinu,vcosu,0),r?(cosu,sinu,1),uv在曲线C上每一点t处,r(2t,et)?et??sin(2t),cos(2t),0?,r(2t,et)??cos(2t),sin(2t),1?.uv由上可知r????r2e2t1?cos?(r?,r)?u??,?(r?,r)?;ur?r2e2t2u4ur??r2et1?cos?(r?,r)?v??,?(r?,r)???(r?,r).□vr??2au2avu2?v2?a2?r??,,?.?u2?v2?a2u2?v2?a2u2?v2?a2??2/(u2?v2?a2).则r?at(u,v,?a)?(0,0,1),t??ut2,t??vt2,uvr?at(u,v,?a)?at(1,0,0),r?at(u,v,?a)?at(0,1,0).uuvv所以4a2E??r?2?a2t2(u2?v2?a2)?2a2ttu?a2t2?a2t2?,uuu(u2?v2?a2)2F?r?r?a2tt(u2?v2?a2)?a2ttv?a2ttu?0,uvuvuv4a2G??r?2?a2t2(u2?v2?a2)?2a2ttv?a2t2?a2t2?,vvv(u2?v2?a2)2从而4a2I?Edu2?Gdv2?(du2?dv2).(u2?v2?a2)(u,v),由微分du,dv的二次方程P(u,v)du2?2Q(u,v)dudv?R(u,v)dv2?0<1>:这两个切方向彼此正交?函数P,Q,R满足ER?2FQ?GP?0,4/9其中E,F,,二次方程<1>有两个互异的实根du:dv和?u:?v,因此可以分解为两个一次因子的乘积:Pdu2?2Qdudv?Rdv2?(Adu?Bdv)(Adu?Bdv).<2>1122其中A,B,A,B是关于变量(u,v),dv的二次多项式,1122比较两边的系数,得P?AA,2Q?AB?AB,R?BB.<3>12122112由<2>可知<1>所确定两个切方向为du:dv??B:A,?u:?v??B:A.<4>1122这两个切方向彼此正交?Edu?u?F(du?v?dv?u)?Gdv?v?0<课本<>>?EBB?F(BA?AB)?GAA?0<由<4>式>12121212?ER?2FQ?GP?0.<由<3>式>□?du2?(u2?a2)dv2.<1>求曲线C:u?v?0与C:u?v?0的交角;12<2>求曲线C:u?av2,C:u??av2和C:v?1所围成的曲边三角形的各个边长123和各个内角.<3>求曲线C:u?av,C:u??av和C:v?.<1>已知E?1,F?0,G?u2?(u,v)?(0,0).在交点处G?,du??dv;对于C,?u??,?r满足12dr??rdu?u?a2dv?v1?a2cos?(dr,?r)????.dr?rdu2?a2dv2?u2?a2?v21?a21?a2a2?1os,?a2a2?1<2>不妨设常数a?,在曲纹坐标下,C与C的交点为O(0,0),C与C的1213交点为A(a,1),C与C的交点为B(?a,1).23因为是计算内角,在O点du?2avdv?0,dv?,?u?0,?v?0,所以内角?O??2avdv?2adv?0,?u?0,?v?0,所以dr??rdu?u2cos?A???.dr?rdu2?(u2?a2)dv2?u26在B点du??2avdv??2adv?0,?u?0,?v?0,dr??rdu?u2cos?B???.dr?rdu2?(u2?a2)dv2?u26所以?O?0,?A??B?os2/,C,C的弧长分别为1235/91L(C)??du2?(u2?a2)dv2?a?4v2?v4?1dv?L(C),12C01aL(C)??du2?(u2?a2)dv2??du??,本题为C:u?av2,C:u??av2,C:v?1,故1222311L(C)??du2?(u2?a2)dv2?a?v2?1v4?1dv?a?(2?v2)dv?7a?L(C),12C042061a/2L(C)??du2?(u2?a2)dv2??du??a/23<3>因为d??u2?a2dudv,?r(s)以弧长s为参数,曲率是?.写出它的切线曲面的参数方程,(s)标架是?r;?,?,??.则它的切线曲面参数方程可写为R(s,t)?r(s)?t?(s).由R???t??,R??可得它的第一基本形式stI?(1?t2?2(s))ds2?2dsdt?dt2.<1>直母线<即t-曲线>?s?0的正交轨线的微分方程为ds?dt?0,即d(s?t)?,作参数变换u?s,v?s??u,t?v?u,切线曲面的参数方程为R(u,v)?r(u)?(v?u)?(u).在新参数下,R(u,v)??(u)??(u)?(v?u)?(u)?(u)?(v?u)?(u)?(u),R(u,v)??(u).uv第一基本形式化为I?(v?u)2?2(u)du2??u,t?v?u直接代入<1>式得到上式:I?[1?(v?u)2?2(u)]du2?2du(dv?du)?(dv?du)2?(v?u)2?2(u)du2??(vcosu?ksinu,vsinu?kcosu,ku)的参数曲线的正交轨线,其中k??(?vsinu?kcosu,vcosu?ksinu,k),r?(cosu,sinu,0).uv第一基本形式为I?(v2?2k2)du2?kdudv?-曲线?v?0的正交轨线的微分方程为Edu?Fdv?0,即(v2?2k2)du?kdv?:kdv11?v??1v?du??d???d?arctan?,v2?2k22?v?2?1?2k??22k?2k得到u-曲线的过(u,v)的正交轨线为00v?2ktan2(u?u)?-曲线?u?0的正交轨线的微分方程为Fdu?Gdv?0,即kdu?(u,v)的006/9正交轨线为v?k(u?u)?:在悬链面r?(acoshtcos?,acoshtsin?,at),(t,?)??(0,2?)与正螺面r?(vcosu,vsinu,au),(u,v)?(0,2?)??a2cosh2t(dt2?d?2).正螺面的第一基本形式为??dv?2??(a2?v2)?du2????.???a2?v2????(u,v)对正螺面作参数变换,令u??,v???acosht?0,参数变换是可允许?(t,?)?d?,dv?acoshtdt?a1?sinh2tdt?a2?v2dt,正螺面的第一基本形式化为??dv?2?I?(a2?v2)?du2???a2cosh2t(d?2?dt2)???1???a2?v2???,??,v?asinht.□?说明理由.<1>r??u2?v,2u3?uv,u4?2u2v?;33<2>r??cosv?(u?v)sinv,sinv?(u?v)cosv,u?2v?;<3>r??a(u?v),b(u?v),2uv?;<4>r??ucosv,usinv,sin2v?.解.<1>r??u2,2u3,u4??v?1,3u,2u2??a(u)?va?(u).36u所以它是可展曲面,因为它是正则曲线a(u)??u2,2u3,u4?<u?0>的切线面.<2>r??cosv,sinv,v??(u?v)??sinv,cosv,1??a(v)?ua?(v),其中a(v)??cosv,sinv,v?是圆柱螺线,u?u?.<3>令a(u)??au,bu,0?,l(u)??a,?b,2u?.则r?a(u)?vl(u),直接计算得?a?(u),l(u),l?(u)????0时,它是马鞍面,?a?(u),l(u),l?(u)??0,?0或b?0时,它是平面,?0且b?0时,<4>令a(v)??0,0,sin2v?,l(v)??cosv,sinv,0?.则r?a(v)?ul(v).由于?a?,l,l???2cos2v?0,它不是可展曲面.□?uz?v,y?vz?,其中u,<1>求参数u和v之间的关系,使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族;<2>.<1>对于固定的参数u,v,该双参数直线族中的一条直线L(u,v)可以写成点向式:x?vy?(u3/3)zL(u,v):??.uv1设所求的函数关系为v?f(u).则得到一个单参数直线族?L?L(u,f(u))?,它们构成u的直纹面S的方程为r(u,t)??f(u),u3/3,0??t?u,f(u),1?.于是f?u20u2S是可展曲面?uf1?0?f?2?u2?f???u?f(u)???c,21f????<2>此时S的参数方程为r(u,t)?a(u)?tl(u),其中a(u)??f(u),u3/3,0?,l(u)??u,f(u),1?,f(u)??(u2/2)?(u)?l?(u)???f?,1,uf??f??0,,则有函数t?t(u)使得a(u)?t(u)l(u)?c,?a??t?l?tl???f??ut??t,u2?ft??tf?,t??,从而t??0,t??u?t?0,,记f(u)?(?u2/2)?c,其中????(u)???u,u2,0???u(1,?u,0)??ul?(u).取新的准线??u2u3?b(u)?a(u)??ul(u)????c,???cu,??u?.?26?则?u2???u2?b?(u)????u,???c,???????u,?c,1????l(u).?2??2?于是S的参数方程为8/9r?b(u)?(?u?t)l(u)?b(u)??(?u?t)b?(u)?b(u)?tb?(u),其中(u,t)?(u,?u??t)是新的参数.□:(s),曲率和挠率分别为?,?,标架为?a;?,?,??.它的主法线族生成的直纹面是S:r?a(s)?t?(s).因为1?a(s),?(s),?(s)????(s),?(s),??(s)?(s)??(s)?(s)???(s)?0,,由可知它的次法线族生成的直纹面S:r?a(s)?t?(s)不是可展曲面.□29/9