文档介绍：一元二次方程
2004-08-31
龙城初级中学
5
x
x
x
x
(8-2x)
(5-2x)
8
试一试花边有多宽
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的长为8m, ,则花边多宽?
解:如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为
m,
宽为 m,
根据题意,
可得方程:
(8 - 2x) (5 - 2x) = 18
(8-2x)
(5-2x)
18m2
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观察下面等式:
102+112+122=132+142
你还能找到其他的五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?
如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面四个数依次可表示为:
根据题意,可得方程:
, , , .
X+1
X+2
X+3
X+4
(X+1)2
(X+ 2)2
+
(X+3)2
(X+4)2
=
+
X2
+
想一想
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由上面两个问题,我们可以得到两个方程:
(8-2 X )(5-2 X)=18
X2 +(X+1)2+(X+2)2= (X+3)2+( X+4)2
上述三个方程有什么共同特点?
上面的方程都是只含有的并且都可以化为的形式,这样的方程叫做一元二次方程.
把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2 , bx , c分别称为二次项、一次项和常数项,a, b分别称为二次项系数和一次项系数.
即 2x2 - 13x + 11 = 0
即 x2 - 8x - 20=0
一个未知数X、X的最高次数为2
整式方程
ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,
a≠0)
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判一判下列方程哪些是一元二次方程?
(1)7x2-6x=0
(2)2x2-5xy+6y=0
(3)2x2- -1 =0
(4) =0
(5)x2+2x-3=1+x2
-
1
3x
-
y2
2
解: (1)、(4)
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(k-3)x2 + 2x-1=0,当k 时,是一元二次方程.
≠3
(k2-1)x2 + 2 (k-1) x + 2k + 2=0,当k 时,是一元二次方程.,当k 时,是一元一次方程.
≠±1
=-1
想一想:
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把下列方程化为一元二次方程的形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:
方程
一般形式
二次项
系数
一次项
系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x -1)=6
4-7x2=0
3x2-5x+1=0
x2 +x-8=0
-7x2 +0 x+4=0
3
1
-7
-5
1
0
1
-8
4
3
-5
+1
1
1
-8
-7
0
4
+
练一练
-7x2 +4=0
7x2 - 4=0
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,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,?请根据这一问题列出方程.
随堂练习:
解:设竹竿的长为x尺,则门的宽度为(x-4)尺,长为(x-2)尺, 依题意得方程:
(x-4)2+ (x-2)2= x2
即
x2-12 x +20 = 0
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(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解:将原方程化简为:
9x2+12x+4=4(x2-6x+9)
9x2+12x+4=
9x2
5x2 + 36 x - 32=0
二次项系数为,
5
+ 36
- 32
一次项系数为,
常数项为.
5
36
- 32
4 x2 -24x +36
- 4 x2
+ 24x
- 36
+ 12x
+ 4
=0
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,列出方程并化为一般式:
(1)有一面积为54m2的长方形,将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形,这个正方形的边长是多少?
(2)三个连续整数两两相乘,再求和,结果为242,这三个数分别是多少?
解:设正方形的边长为xm,则原长方形的长为(x+5) m, 宽为(x+2) m,依题意得方程:
(x+5) (x+2)