文档介绍：对称变换和对称矩阵
定义1:设是欧氏空间V的一个线性变换。如果,有
,
则称是一个对称变换。
欲证是对称变换,即证:
(1) 是线性变换;
(2) ,有。
定义2:设A是数域F上的阶矩阵,如果,则称A是一个对称矩阵。
:设是维欧氏空间V的一个对称变换。是 V的任意一个规范正交基。关于这个基的矩阵,则A是一个对称矩阵。
定理: 维欧氏空间V的对称变换关于任意一个规范正交基的矩阵是一个实对称矩阵。
:设是维欧氏空间V的一个线性变换。如果关于V的任意一个规范正交基的矩阵是对称矩阵,则是一个对称变换。
+: 维欧氏空间V的一个线性变换是对称变换的充要条件是关于V的任意一个规范正交基的矩阵是实对称矩阵。
:实对称矩阵的特征根都是实数。
: 维欧氏空间V的一个对称变换的属于不同的本征值的本征向量彼此正交。
:设是维欧氏空间V的一个对称变换,则存在V的一个规范正交基,使得关于该基的矩阵是对角矩阵。
:设A是阶实对称
矩阵,那么存在一个阶正交矩阵,使得是对角矩阵。
求正交矩阵的步骤:
(1)求出所给实对称矩阵A的特征值;
(2)对于每一个,求出齐次线性方程组
的一个基础解系;
(3)将这个基实行正交单位化,作为矩阵的列向量,则即为所求。
例1、设,求一个正
交矩阵阵,使得具有对角形式
例2、已知为正交矩阵。证明:
也是正交矩阵。
练****设,求一个正交
矩阵,使得是对角矩阵。
第八章小结
一、欧氏空间
1、内积的定义,会根据所给的内积判断是否作成欧氏空间。
2、欧氏空间的内积法则。
3、欧氏空间内积的性质(5条)。
4、长度、夹角、正交、距离的定义。
5、—。