文档介绍：函数的奇偶性
引入课题:
(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1), f(-2) , f(2),及f(-x) ,并画出它的图象。
解:
f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
f(0)=0,f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-x)=(-x)2=x2
(x)=x3, 求f(0),f(-1),f(1) f(-2),f(2), 及f(-x),并画出它的图象.
解:
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(0)=0,f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-x)=(-x)3=-x3
思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系?
f(-2)=f(2)
f(-1)=f(1)
f(-2)= - f(2)
f(-1)= - f(1)
-x
x
f(-x)
f(x)
-x
f(-x)
x
f(x)
x
y
o
x
y
o
( x,y)
(-x,y)
(-x,-y)
(x,y)
f(-x)=f(x)
f(-x)= - f(x)
:
偶函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),
那么函数f(x)就叫偶函数.
奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,
那么函数f(x)就叫奇函数.
☆对奇函数、偶函数定义的说明:
(1).函数具有奇偶性的前提是:定义域关于原点对称。
[a ,b]
[-b,-a]
x
o
(2) 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x)成立。
若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
(3) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。
练习1. 说出下列函数的奇偶性:
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
①f(x)=x4 ________ ④ f(x)= x -1 __________
② f(x)=x ________
奇函数
⑤f(x)=x -2 __________
偶函数
③ f(x)=x5 __________
⑥f(x)=x -3 _______________
结论:一般的,对于形如 f(x)=x n 的函数,
若n为偶数,则它为偶函数。
若n为奇数,则它为奇函数。
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2
解:
∵f(-x)=(-x)3+2(-x)
= -x3-2x
= -(x3+2x)
= - f(x)
∴f(x)为奇函数
∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
=2x4+3x2
= f(x)
∴f(x)为偶函数
定义域为R
解:
定义域为R
☆小结:用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求定义域,看是否关于原点对称;
⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。
练习2. 判断下列函数的奇偶性
(2) f(x)= - x2 +1
∴f(x)为奇函数
∵f(-x)= -(-x)2+1
= - x2+1
∴f(x)为偶函数
(1) f(x)=x-
1
x
解:定义域为﹛x|x≠0﹜
解:定义域为R
∵f(-x)=(-x) -
1
-x
= -x+
1
x
= - f(x)
= f(x)
(3). f(x)=5 (4) f(x)=0
解: f(x)的定义域为R
∵ f(-x)=f(x)=5
∴f(x)为偶函数
解: 定义域为R
∵ f(-x)=0=f(x) 又 f(-x)= 0 = -f(x)
∴f(x)为既奇又偶函数
y
o
x
5
o
y
x
结论: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称),为既奇又偶函数。
(5) f(x)=x2+x
解: ∵f(-1)=0,f(1)=2
∴f(-1)≠f(1) ,f(-1)≠-f(1)
∴f(x)为非奇非偶函数
(6) f(x)=
√x
解: 定义域为[0 ,+∞)
∵定义域不关于原点对称
∴f(x)为非奇非偶函数
(7) f(x)= 3
√x
解: 定义域为R
∵ f(-x)= 3 -x = - 3√x
= - f(x)
∴f(x)为奇函数
√
小结:根据奇偶性,
函数可划分为四类:
奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数