文档介绍：第三节
相似矩阵
第四章
一、相似矩阵及其性质
二、方阵与对角阵相似的充要条件
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,如果存在可逆矩阵,
使:
、为阶方阵
则称与相似(A相似于B),
C为A变B的相似变换矩阵.
相似矩阵
矩阵的相似关系可以用来简化矩阵的计算.
对 A 进行运算
称为对 A进行相似变换.
一、相似矩阵及其性质
在第二章中讨论了两个矩阵的等价关系,
现在
进一步讨论两个矩阵的相似关系.
记作
~
2
(3) 见第二章第五节.
若矩阵A相似于矩阵B,则
(1)
(2)
(3)
行列式相等;
秩相等.
证明:
(1)
特征值相同;
3
( 4 )
则
其中λ1,λ2,…,λn是 A 的特征值.
4
(1)
相似,
已知
与相似,
则
(5)
存在可逆矩阵,使
证明:
~
故
~
(2)
故
~
(3)
故
~
若 A ,B 可逆,则
相似.
5
解:
设
与相似,
(1)求参数及
(2)求
例1.
解得
(1)利用性质4
(2)利用性质1
6
例2.
(1)求
设
(1)由性质4,
解得
相似于
(2) A的特征值为
(2)求
解:
利用性质1,
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设方阵 A ~B,
则A、B的特征值均为
而对角阵
的特征值也是
能否存在可逆矩阵C,使
矩阵A相似于对角阵Λ是以下讨论的问题.
方阵与对角阵相似的条件:
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证明:
设
定理
阶方阵相似于对角矩阵,
n个线性无关的特征向量.
当且仅当A有
令
则
二、方阵与对角阵相似的充分必要条件
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推论1
列是A 的对应特征值
设
与都是阶方阵,
可逆,
则
当且仅当矩阵的第
的特征向量.
把上述过程返回,
即当A有n个线性无关的特征向量时,
则C 可逆,
因为C可逆,
且
线性无关,
故有个线性无关特征向量.
其中
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